快速傅里叶变换FFT:算法原理与应用
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更新于2024-07-24
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"快速傅里叶变换FFT是用于计算离散傅里叶变换(DFT)的一种高效算法,由库利和图基在1965年提出。它不是新的变换类型,而是DFT的快速实现,显著减少了计算量,尤其在处理长序列时。FFT在信号处理、图像分析、通信等多个领域有广泛应用,如离散傅里叶反变换、线性卷积和线性相关等。"
快速傅里叶变换(FFT)是计算有限长序列离散傅里叶变换的关键工具,它的引入主要是因为直接使用DFT计算时所需的计算量巨大,与序列长度N的平方成正比,这在处理大量数据时变得非常不实际。FFT算法通过巧妙的数据重组和递归策略,将计算复杂度降低到O(N log N),极大地提高了计算效率。
FFT的历史源于加文(Garwin)对快速傅里叶变换方法的需求,他从图基(J.W. Turkey)那里了解到这种方法,随后库利(Cooley)在加文的要求下设计出相应的计算机程序。1965年,库利和图基在《计算数学》杂志上发表了他们的研究成果,提出了库利-图基算法,这是FFT发展的重要里程碑。
本章主要探讨了以下几个方面:
1. 直接计算DFT存在的问题及其改进方法。DFT的计算量巨大,特别是对于复数序列,需要进行大量的复数乘法和加法。DFT和其逆变换IDFT的运算量相同,都是O(N^2)。
2. DFT的多种算法,包括时间抽取算法(DIT,Decimation In Time)、频率抽取算法(DIF,Decimation In Frequency)以及线性调频Z变换(CZT)。这些算法通过不同的数据处理策略来实现FFT,例如DIT和DIF通过分治策略将大问题拆解为小问题,从而减少计算量。
3. FFT的应用场景,不仅限于信号处理,还包括滤波、频谱分析、数字信号合成等多种领域。
在第二节中,直接计算DFT的问题在于其运算量随着序列长度N的增加呈指数增长。DFT计算涉及N个复数点乘和N个复数加法,总计4N^2项基本运算。这在需要实时处理或大数据量分析时是无法接受的。改进途径包括使用FFT算法,通过分时抽取或分频抽取的方式,将N点DFT分解为较小规模的DFT并行计算,显著降低了计算复杂度。
快速傅里叶变换是数字信号处理中的核心算法,它通过高效的计算策略,使得对长序列的频域分析成为可能,从而在科研和工程实践中发挥了重要作用。
2017-05-06 上传
2016-06-25 上传
2021-10-25 上传
2023-06-07 上传
2023-10-20 上传
2023-06-07 上传
2023-06-24 上传
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2023-08-06 上传
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