动态规划艺术：背包问题详解

"《背包问题九讲2.0 beta1.2》是崔添翼关于动态规划在背包问题中的应用的一部著作，旨在探讨不同类型的背包问题及其解决方案。该书涵盖了01背包、完全背包、多重背包、混合背包、二维费用的背包问题、分组的背包问题、有依赖的背包问题、泛化物品以及背包问题问法的变化等多个主题。书中不仅给出了每种问题的基本思路，还探讨了各种优化算法和特殊情况的处理方法，适合ACM竞赛参与者和算法学习者参考。" 《背包问题九讲》是崔添翼在2007年首次以HTML格式发布，后于2011年9月进行了全面修订，现以2.0 beta版本呈现。该书以CC BY-NC-SA协议授权，可在GitHub上查看修订历史和最新版本。 1. **01背包问题**：这是最基本的背包问题类型，需要决定每个物品是否放入背包，以最大化背包的总价值。优化空间复杂度的方法包括动态规划，初始化细节和常数优化。 2. **完全背包问题**：与01背包的区别在于，每个物品可以无限次放入背包。通过简单优化，可以将完全背包问题转化为01背包问题求解，或者使用O(VN)的算法。 3. **多重背包问题**：每个物品有有限的数量，需要考虑如何选择物品的多个实例。这种问题可以转化为01背包问题，或使用O(VN)的算法解决可行性问题。 4. **混合背包问题**：结合01、完全和多重背包的特点，需要灵活应对不同类型的物品。 5. **二维费用的背包问题**：物品除了价值外还有成本，目标是在不超过总成本的前提下最大化价值。可能的限制包括物品总个数，或者在复整数域上求解。 6. **分组的背包问题**：物品被分成若干组，每组有自己的限制条件。解决此类问题需要考虑组内和组间的平衡。 7. **有依赖的背包问题**：物品之间存在依赖关系，选取某些物品可能影响其他物品的选择。需要设计适应依赖关系的算法。 8. **泛化物品**：引入更复杂的状态，如物品可以有多个属性，或者物品的价值与已选择的其他物品有关。 9. **背包问题问法的变化**：除了求解最大价值外，还可能要求输出方案、按字典序最小的最优方案、方案总数或次优解、第K优解等。 这本书详细讲解了各种背包问题的核心思想、算法实现和优化技巧，对理解和解决实际问题具有很高的指导价值。无论是对参赛者还是对希望提升算法能力的读者，都是宝贵的参考资料。