压缩型映射对的公共不动点问题研究

"关于压缩型映射对的公共不动点—某些尚待解决的问题 (1984年)" 这篇论文探讨的是在数学中的一个经典主题——压缩型映射对的公共不动点理论。压缩型映射在拓扑动力系统、算子理论以及泛函分析等领域有广泛应用，它们涉及到寻找两个映射在同一个空间中的共同固定点，即同时满足映射关系的点。本文主要关注的是在完备度量空间（X,d）中，两个自映射S和T的交互作用，其中ST=TS，这意味着映射是可交换的。 论文指出，Rhoades在之前的工作中将压缩型映射分类为250种类型，并提出了一些尚未解决的问题，特别是在非交换映射对的公共不动点存在性和唯一性方面。举例来说，Sastry和Naidu展示了在某些情况下，即使在有界完备距离空间中，根据定义149所定义的非交换映射对也可能不存在公共不动点。 作者进一步讨论了在不同条件下的公共不动点问题。Fisher的一个例子表明，满足特定条件的映射对可能没有公共不动点。然而，当空间有界且S和T可交换时，根据附加条件，S和T可以有唯一的公共不动点。在后续的研究中，这一结论被扩展到了Rhoades的定义147所涵盖的情况。 论文的核心贡献在于提出了在非常一般的压缩条件下，交换映射对的公共不动点的存在唯一性问题。它解决了之前悬而未决的问题，并在比其他研究更弱的假设下取得了进展，改进并推广了许多近期的结果。 在符号和引理部分，文章引入了用于描述映射迭代集合的记号，并给出了一条关键的引理（引理1）。这个引理表明，如果存在一个初始点Xo，使得与该点相关的映射迭代集合的直径保持有限，并且满足特定的迭代函数φ的性质，那么这个序列会收敛到S和T的公共不动点。 这篇论文深入研究了压缩型映射对的公共不动点理论，尤其是在不强加空间有界性和映射可交换性的前提下。它通过更一般化的条件和新的技术手段，为解决这一领域的未解问题提供了新的视角和解决方案。