证明：完备度量空间由压缩映射构造的迭代一定收敛于不动点。估计迭代收敛速度。

设 $(X,d)$ 为完备度量空间，$T:X\rightarrow X$ 是一个压缩映射，即存在 $0\leq k<1$ 使得对于任意 $x,y\in X$，有 $d(Tx,Ty)\leq kd(x,y)$。我们考虑由 $T$ 构造的迭代序列 $\{x_n\}$，即 $x_0\in X$，$x_{n+1}=Tx_n$。

首先证明 $\{x_n\}$ 是一个柯西序列。对于任意 $n,m\in \mathbb{N}$，不妨假设 $m>n$，则有

\begin{aligned}
d(x_n,x_m)&=d(Tx_{n-1},Tx_{m-1})\\
&\leq kd(x_{n-1},x_{m-1})\\
&\leq k^2d(x_{n-2},x_{m-2})\\
&\cdots\\
&\leq k^{m-n}d(x_0,x_0)
\end{aligned}

因为 $0\leq k<1$，所以当 $m-n$ 充分大时，$k^{m-n}$ 可以任意小，因此 $\{x_n\}$ 是一个柯西序列。

由于 $(X,d)$ 是完备度量空间，因此 $\{x_n\}$ 收敛于 $x\in X$。我们接下来证明 $x$ 是 $T$ 的不动点，即 $Tx=x$。

由于 $T$ 是压缩映射，因此对于任意 $n\in \mathbb{N}$，有

$$d(Tx,x)=d(Tx,T^n x)+d(T^n x,x)\leq \sum_{i=0}^{n-1}d(T^{i+1}x,T^ix)\leq \sum_{i=0}^{n-1}k^id(x,x_0)$$

因为 $0\leq k<1$，所以当 $n$ 充分大时，$\sum_{i=0}^{n-1}k^i$ 可以任意小，因此有 $d(Tx,x)=0$，即 $Tx=x$，即 $x$ 是 $T$ 的不动点。

接下来我们估计迭代收敛速度。由于 $T$ 是一个压缩映射，因此对于任意 $n\in \mathbb{N}$，有

$$d(x_{n+1},x_n)=d(Tx_n,Tx_{n-1})\leq kd(x_n,x_{n-1})\leq k^{n}d(x_1,x_0)$$

因此，当 $n$ 充分大时，$d(x_{n+1},x_n)$ 可以任意小。如果我们定义 $e_n=d(x_n,x)$，则有

$$d(x_{n+1},x)=d(Tx_n,x)=d(Tx_n,Tx)+d(Tx,x)\leq kd(x_n,x)+d(Tx_n,x)=ke_n+de_{n-1}$$

因此，当 $n$ 充分大时，$e_n$ 满足以下递推关系：

$$e_n\leq ke_{n-1}+de_{n-2}\leq k^2e_{n-2}+de_{n-3}\leq \cdots\leq k^ne_0+de_{n-1}$$

其中 $e_0=d(x_0,x)$。因此，我们得到了一个上界估计式：$e_n\leq \frac{d(x_1,x_0)}{1-k}k^n$。

综上所述，完备度量空间由压缩映射构造的迭代一定收敛于不动点，且收敛速度是指数级别的。