普利姆算法实现最小生成树详解

"最小生成树的prime算法" 最小生成树（Minimum Spanning Tree，MST）是图论中的一个重要概念，特别是在解决实际问题如构建通信网络时有着广泛应用。在一个无向图G中，如果能选择一组边，使得这些边连接了所有的顶点，且这组边的总权重最小，那么这组边就构成了该图的一棵最小生成树。最小生成树的建立避免了形成环路，确保了网络的连通性，并且总成本最低。 普利姆（Prim）算法是一种经典的构造最小生成树的方法，其核心思想是逐步扩展最小生成树，每次添加一条连接现有树与未被包含节点的最小权重边。以下是普利姆算法的详细步骤： 1. 初始化：将所有顶点标记为未访问（例如，用一个布尔数组vis[]记录），并设置一个空集合A来存储已选择的节点。选择任意一个起点，将其加入A集合，其余节点放入B集合。 2. 在每一步中，找到B集合中与A集合中节点相连的边中权重最小的一条。这条边的另一个端点被加入A集合，同时从B集合中移除。 3. 重复上述步骤，直到B集合为空，即所有节点都被包含在最小生成树中。 在提供的代码片段中，可以看到prim()函数实现了普利姆算法的基本逻辑。首先定义了全局变量N（顶点数量）、M（边的数量），以及用于存储边的权重的二维数组cost[][]。接着，输入N和M，以及每条边的起始点、终点和权重，然后调用prim()函数计算最小生成树的总权重。 prim()函数内部，初始化最小生成树的权重为0，并通过vis[]数组追踪每个节点的状态。通过一个循环，对于每一个未访问过的节点，找到与A集合中节点相连的最小权重边，并更新最小权重和待添加的边。这个过程不断进行，直到所有节点都被访问过，算法结束。最后返回最小生成树的总权重。 普利姆算法的时间复杂度通常表示为O(n^2)，这是因为对于n个节点的图，可能需要检查n-1次边来构建最小生成树，每次检查都可能涉及到n个节点。虽然效率相对较低，但在某些情况下，如稀疏图（边的数量远小于节点数量的平方）中，普利姆算法仍然是一个实用的选择。 最小生成树的普利姆算法是图论中的一种经典算法，用于解决实际问题，如构建成本最低的通信网络。它通过逐步增加连接，保证了最终结果的最优性，且在特定类型的图中具有较好的性能。