prime最小生成树算法

最小生成树（Minimum Spanning Tree, MST）算法是一组图论中的算法，其目标是从给定的带权重的无向图中找到一棵树，这棵树连接了所有顶点，并且所有边的总权重（或长度）最小。Prim's算法和Kruskal's算法是两种常见的用于求解最小生成树的算法。

Prim's算法：
1. 从图中任意一个顶点开始，将其添加到已选集合中。
2. 在剩下的未选顶点中找到与已选顶点相连且权重最小的边，将这条边的另一端加入已选集合，并更新当前树的总权重。
3. 重复步骤2，直到所有顶点都被选入，或者无法再添加新的边保持总权重最小。
4. 最终得到的树即为最小生成树。

Kruskal's算法：
1. 将所有边按照权重从小到大排序。
2. 从未选择过的边中选取权重最小的一条，如果这条边不形成环，则加入最小生成树并标记这条边已经被选择。
3. 重复步骤2，直到选择的边的数量等于顶点数量减一，或者不能再添加新边而不形成环。
4. 结果是一棵连通的树，即最小生成树。

相关问题

Prime最小生成树算法

Prim最小生成树算法是一种用于寻找无向加权图中一棵包含所有顶点的最小权重树的算法。它是由 computer scientist Robert Prim 在 1957 年提出的。Prim算法的基本思想是从任意一个顶点开始，逐步添加边，每次选择一条连接当前生成树与未加入顶点中权重最小的边，直到所有顶点都被包含在内。

以下是Prim算法的步骤：
1. 初始化：选择一个顶点作为“初始顶点”或“根”，将其标记为已访问，并创建一个包含该顶点的集合（通常称为“树集”）。
2. 扩展树：在剩余未访问的顶点中，找出与树集中的顶点相连且权重最小的边。将这条边所连接的未访问顶点加入树集。
3. 重复：继续执行第2步，直到树集包含所有顶点。

使用prime算法生成最小生成树

Prime算法是一种贪心算法，用于生成最小生成树。它的基本思想是从一个起点开始，每次加入一个距离已有点集最近的点，直到所有点都被加入为止。

具体实现过程如下：

1. 初始化一个空的集合S，将起点加入其中。
2. 从剩余的点中选择一个距离S中的点集最近的点，将其加入到S中。
3. 更新其他点到S的距离，如果有更短的路径，则更新距离。
4. 重复步骤2和3，直到所有点都被加入到S中。

以下是一个使用Prime算法生成最小生成树的示例代码，假设图的边权值存储在邻接矩阵中：

def prim(graph):
    n = len(graph)
    INF = float('inf')
    dist = [INF] * n # 存储每个点到S的距离
    visited = [False] * n # 标记每个点是否已经加入S
    parent = [-1] * n # 存储每个点的父节点
    dist[0] = 0 # 从第一个点开始生成最小生成树

    for i in range(n):
        # 找到距离S最近的点
        u = -1
        for j in range(n):
            if not visited[j] and (u == -1 or dist[j] < dist[u]):
                u = j
        visited[u] = True

        # 更新其他点到S的距离
        for v in range(n):
            if not visited[v] and graph[u][v] < dist[v]:
                dist[v] = graph[u][v]
                parent[v] = u

    # 构造最小生成树
    tree = []
    for i in range(1, n):
        tree.append((parent[i], i))

    return tree

这个算法的时间复杂度为O(n^2)，如果使用堆优化可以优化到O(mlogn)，其中m为边数。