连续时间系统分析：微分积分在时域的应用

"进一步推广-信号与系统引论-课件-郑君里-第2章-连续时间系统的时域分析" 在《信号与系统引论》这一课程中，第二章重点探讨了连续时间系统的时域分析。时域分析是直接通过对系统微分和积分方程的求解来理解系统的动态行为，这种方法直观且物理概念清晰，为后续学习各种变换域方法奠定了基础。 系统分析通常涉及两种描述方法：输入输出描述法，即一元n阶微分方程；和状态变量描述法，即n元一阶微分方程组。在本课程中，主要关注输入输出描述法。分析过程包括建立系统数学模型，通常以微分方程的形式，然后运用经典法或卷积积分法求解。 经典法是基于电路分析中的基础，如基尔霍夫电流定律（KCL）和电压定律（KVL），用于列出与时间函数相关的微分方程。然而，当涉及到与冲激响应相关的激励时，经典法可能无法直接解决问题，此时就需要引入卷积积分法。卷积积分法是一种强大的工具，它允许我们通过求解系统的冲激响应来找到任意激励下的零状态响应。 系统数学模型的建立依赖于元件特性约束和网络拓扑约束。元件特性约束如电阻、电容和电感的电压-电流关系，而网络拓扑约束则源于电路的结构，如KCL和KVL。例如，在一个RCL并联电路中，通过应用KCL和元件伏安关系，可以得到一个二阶微分方程来描述系统的动态行为。 在时域经典法中，求解n阶线性时不变系统的微分方程是关键步骤。这涉及到将系统的激励信号（如电流或电压）与响应信号之间的关系转化为微分方程，然后通过解这个方程来确定系统的动态响应。 例如，对于一个RCL并联电路，可以列出包含电阻R、电感L和电容C的微分方程。通过解这个方程，我们可以找到电路端电压v(t)与激励电流is(t)之间的精确关系。在求解过程中，可能会用到微分的性质，比如微分n次后积分m次，当m=n时，微分次数等于积分次数，这些性质在计算卷积时特别有用。 时域分析是理解连续时间系统动态行为的基础，它结合了微积分、元件特性以及网络约束，通过经典法和卷积积分法等工具，为理解和设计复杂的电子系统提供了理论框架。通过深入学习和熟练掌握这些知识，工程师们能够预测和控制系统的响应，从而在实践中实现各种功能。