《动态规划的思考艺术》之背包问题九讲2.0RC1

"《背包问题九讲 2.0 RC1》是崔添翼的一篇文章，属于《动态规划的思考艺术》系列，介绍了多种类型的背包问题及其动态规划解决方案。该文章最初于2007年以HTML形式发布，后于2011年9月由作者用LATEX修订并更新至2.0alpha版本。" 本文详细讲解了不同类型的背包问题，包括01背包问题、完全背包问题、多重背包问题、混合背包问题、二维费用的背包问题、分组的背包问题、有依赖的背包问题以及泛化物品在背包问题中的应用，并探讨了背包问题问法的变化，如输出方案、输出字典序最小的最优方案、求方案总数等。 1. 01背包问题：这是最基本的背包问题，每种物品只有一件，需要决定是否放入背包以最大化价值。基本思路是使用动态规划，通过状态转移方程`dp[i][w] = max(dp[i][w], dp[i-1][w], dp[i-1][w-wj]+vi)`来解决，其中`i`表示物品，`w`表示剩余容量，`wj`和`vi`分别是物品的重量和价值。 2. 完全背包问题：每种物品可以无限件，优化思路包括将物品按价值/重量比排序，优先考虑性价比高的物品。可以通过状态转移方程`dp[i][w] = max(dp[i][w], dp[i-1][w], dp[i][w-wj]+vi)`来解决。 3. 多重背包问题：每种物品有限定数量，可以转化为01背包问题，或者直接使用动态规划处理，考虑物品的数量限制。 4. 混合背包问题：结合01、完全和多重背包的特点，需要根据具体问题灵活调整策略。 5. 二维费用的背包问题：物品除了重量外还有费用，需要同时考虑价值和总费用，可能需要在二维整数域上进行动态规划。 6. 分组的背包问题：物品被分为若干组，每组内的物品只能全部选择或不选择，可以通过动态规划在组级别上进行决策。 7. 有依赖的背包问题：物品之间可能存在依赖关系，需要先解决依赖问题，然后应用动态规划。 8. 泛化物品：物品可以有多个属性，可以将其视为多个维度的背包问题，通过扩展动态规划的状态来解决。 9. 背包问题问法的变化：除了求解最优解，还可以要求输出最优解的方案、方案总数、次优解或第K优解，这些都需要对动态规划的状态进行相应调整。 每一种问题类型都伴随着具体实例和优化策略，旨在帮助读者深入理解和掌握动态规划在背包问题中的应用。此外，文章采用CC BY-NC-SA协议发布，允许非商业性分享和改编，但需保留原作者权益。