后缀数组构造方法解析：倍增算法

"后缀数组——关于倍增思想-后缀数组--许智磊" 后缀数组是字符串处理中的一种重要数据结构，由芜湖一中教师许智磊所讲解。它被广泛应用于字符串处理的研究，是后缀树的一个简单而高效的替代品。后缀数组能够帮助我们快速地对字符串的后缀进行字典序排序，从而实现多种字符串操作，如查找模式串、计算最长公共前后缀等。 在定义上，后缀数组是将一个字符串的所有后缀按照字典序排列后，存储这些后缀起始位置的数组。这里的后缀是指从某个位置开始直到字符串末尾的部分。例如，字符串"abc$"（其中"$"是最小的字符，用于区分不同的后缀）的后缀包括"abc$", "bc$", "c$", 和"$"。为了比较这些后缀，我们使用“字典顺序”，即比较它们的每个字符，直到区分出大小。 构建后缀数组的传统方法是直接排序，但这种方法效率低下，时间复杂度为O(n^2)。因此，引入了倍增算法（Doubling Algorithm），这是一种基于动态规划思想的优化算法。倍增算法的核心是利用后缀之间的内在联系，通过逐步增加比较的前缀长度来减少比较次数。 倍增算法中，首先定义k-前缀比较关系，即比较字符串u和v的前k个字符来决定它们的相对顺序。如果u的前k个字符小于v的前k个字符，则u<kv；若相等，则u=kv；若u的前k个字符都不大于v的前缀，那么u≤kv。通过这种比较方式，我们可以将两个后缀的2k-前缀比较转化为k-前缀的比较，从而降低比较的复杂度。 在构建后缀数组的过程中，我们首先对所有后缀按2^0（即单个字符）前缀进行排序，然后逐步增加前缀长度，如2^1、2^2等，每次比较后更新后缀的位置。这样，通过多次迭代，最终得到完整的后缀数组。这个过程的时间复杂度可以降低到O(n log^2 n)，大大提高了效率。 此外，为了进一步提高性能，还有其他算法如线性时间复杂度的Manber-Myers算法和SAIS算法。这些算法在理论和实践中都取得了显著的成就，使得后缀数组成为字符串处理领域中的必备工具。 后缀数组是一种强大的字符串处理工具，结合倍增算法的动态规划思想，能够在较短时间内构建并利用后缀数组解决各种字符串问题。理解并掌握后缀数组及其构建方法对于深入学习字符串处理和算法设计具有重要意义。