马尔可夫链与连续马氏过程概述：工程中的随机系统分析

在工程随机过程的研究中，输入（或激励）、系统以及输出（或响应）之间的关系是核心概念。通常，当我们知道其中任意两个，就可以推导出第三个。在工程实践中，线性时不变系统是最常见且重要的类型，它们的分析方法，如脉冲响应函数和传递函数，可以应用于随机系统分析中。 马尔可夫过程作为随机过程的一个重要类别，它具有广泛的适用性，包括物理学、生物学、公用事业等领域。马尔可夫过程按照参数和状态的连续性分为四种类型： 1. 参数连续、状态离散的马尔可夫链（连续的马氏链或纯不连续马氏过程）：这种过程的时间是离散的，但状态是可数的。 2. 参数离散、状态连续的马尔可夫过程（马氏序列）：在这种情况下，时间仍然是离散的，而状态是连续的。 3. 参数和状态都离散的马尔科夫链，即经典的马尔可夫链，它在定义上要求随机过程在时间上和状态上都是离散的。马尔可夫链的核心特征是满足“马尔可夫性质”，即随机过程的未来仅依赖于当前状态，与过去状态无关。这体现在一步转移概率矩阵中，该矩阵给出了从一个状态转移到另一个状态的概率，满足概率守恒。 马尔可夫链的重要概念包括直观背景、定义、一步转移概率矩阵、齐次马尔可夫链以及高阶转移概率和C-K方程。齐次马尔可夫链意味着转移概率与时间无关，而高阶转移概率则涉及多个时间步的情况。C-K方程是马尔可夫链的一个关键特性，它描述了在多个步骤后的状态分布。 在学习马尔可夫过程时，首先理解基本概念至关重要，然后通过实例来加深理解，如通过计算一步转移概率矩阵来模拟实际系统的行为。马尔可夫链在诸如人口动态、疾病传播、通信网络等多个领域都有广泛应用，因此掌握其原理和方法对于工程师来说是一项必备技能。 总结来说，工程随机过程中的输入、系统和输出之间的关系，以及马尔可夫过程的分类、定义和应用，都是工程实践中理解和设计复杂系统时不可或缺的知识点。掌握这些内容，有助于分析和设计复杂的随机系统，特别是在需要预测和控制不确定性环境中的系统行为时。