C语言实现常微分方程数值解法对比研究

数值分析是计算数学的重要分支，专注于解决常微分方程的数值解问题，特别是在那些无法通过解析方法得到初等函数表达的方程情况下。本文档是一份本科生课程设计报告，针对信息与计算科学专业的学生，由管理科学学院的学生在实习期间完成，旨在探讨常微分方程初值问题的数值求解。 该报告首先介绍了常微分方程数值解的概念，强调了由于许多实际问题中的方程没有解析解，数值方法成为了求解的关键。数值解是在给定区间内的离散点上近似真解的值，通过各种数值算法如改进的Euler方法、经典龙格-库塔(R-K)方法和4阶Adams预测-校正方法来实现。 实验内容要求学生使用不同的步长h=0.1, 0.01, 0.001，分别应用三种数值方法计算一个初值问题。学生需要构建表格，列出10个等间距节点上的计算值与精确值，以此评估不同方法的计算精确度。其中，经典R-K方法提供了多步法所需的初始值。 具体的算法部分详细列出了各个函数与变量的定义，例如： - `f`和`p_f`分别代表微分方程和它的原函数； - `Euler`、`Euler_Pro`、`K_R`和`Adams`代表不同的数值解方法，包括欧拉法、改进欧拉法、经典4阶龙格-库塔方法和4阶Adams预测-校正方法； - 主函数`Main`负责整合这些算法的执行。 在数值方法的具体实现中，欧拉方法采用递推关系，而改进欧拉方法在半步处理上有所不同。经典R-K方法则是一种四阶的多步法，它在计算下一个时间步时不仅依赖当前步，还依赖前三步的信息。Adams预测-校正方法更为复杂，涉及显式外插和隐式内插公式，以及迭代过程，以确保计算的准确性。 最后，学生需依据提供的公式，运用预测-校正系统的具体方案进行计算，并基于局部截断误差公式对结果进行评估。这份报告不仅展示了数值解法在实际问题中的应用，也锻炼了学生的编程和问题解决能力，特别是在处理非线性或高阶微分方程时。