斯坦福ML公开课：EM算法在因子分析中的应用

在斯坦福大学的机器学习公开课程13B1中，讲师深入探讨了如何使用期望最大化(EM)算法求解因子分析模型的参数。在处理混合高斯模型时，当训练数据样本数量小于样本维度时，由于协方差矩阵的非奇异性问题，可能导致计算难度。这个问题本质上反映了数据信息不足，使得模型无法充分利用所有可用信息。 为解决这一问题，讲师提出了两种策略：一是通过调整模型假设来简化问题。比如，将协方差矩阵限制为对角矩阵，这相当于假设数据在各个维度上的独立性增强，使得即使样本数少于维度也能估计出特定形式的协方差矩阵。更强的假设是进一步要求对角线元素相等，这将高斯分布的投影变为圆形，降低了参数估计的复杂性。 另一种策略是降低模型的复杂度，引入更简单的模型，如因子分析模型。因子分析是一种假设数据存在潜在变量或因子影响观测变量的模型。它通过引入较少的因子来解释数据的多维性，从而减少参数数量，缓解过拟合风险。在介绍因子分析模型前，首先回顾了高斯分布的一种矩阵表示形式，这对于理解因子分析的数学基础至关重要。 在因子分析中，随机向量被分解为两个部分，一部分是观察变量，另一部分是不可见的潜在因子。这些因子的协方差矩阵被假定为对角化形式，简化了参数估计的过程。使用EM算法求解因子分析模型参数时，通过迭代过程不断优化模型参数，使得观测数据的似然函数最大化。 总结来说，斯坦福ML公开课13B1的内容围绕着混合高斯模型的局限性和因子分析模型的引入，展示了如何通过调整模型假设和降低复杂度来处理数据维度高于样本数的情况，并详细介绍了如何运用EM算法来估计因子分析模型的参数。这部分内容对于理解和应用高维数据分析，特别是处理数据稀疏和信息不足情况具有重要意义。