积分表与级数： Seventh Edition

需积分: 9 188 浏览量更新于2024-07-20 收藏 7.33MB PDF 举报

"这是一本名为《积分、级数与乘积表》的第七版图书，由I.S.格拉代什坦(I.S. Gradshteyn)和I.M.里日赫克(I.M. Ryzhik)共同编写，并由艾伦·杰弗里(Alan Jeffrey)和丹尼尔·兹威林格(Daniel Zwillinger)担任编辑。书中详尽地列出了各类积分，包括常见的三角函数积分、指数函数积分以及超几何函数积分等，旨在为读者提供一个全面的参考工具。此书最初是用俄语编写的，并由Scripta Technica, Inc.翻译成英文。出版社为Elsevier的学术出版社(Academic Press)，出版地点包括阿姆斯特丹、波士顿、海德堡、伦敦等地。该书遵循严格的版权规定，未经许可，不得复制或传播。" 这本书涵盖了积分计算的重要主题，对于学习和研究数学，尤其是微积分和高级数学的人来说是不可或缺的资源。积分是微积分的核心概念，用于求解面积、物理问题中的工作量、速度和加速度等问题。三角函数积分，如正弦、余弦、正切和余切的积分，是工程学、物理学和其他科学领域中常见的计算。指数函数积分涉及到自然对数e的幂，这些积分在解决各种增长和衰减模型时非常关键。超几何函数积分则更为复杂，它们在理论物理学、统计力学以及数学的多个分支（如特殊函数理论）中有广泛应用。超几何函数是一类在解析和数值计算中都相对复杂的函数，其积分形式通常涉及无限级数和特殊函数的组合。书中还包含了级数的内容，级数是数学分析中的另一个基础概念，它用来表示无限项的和。级数可以是收敛的，也可以是发散的，理解其性质对于求解复杂数学问题至关重要。此外，乘积表可能包含特定函数序列的乘积公式，这对于理解和处理复杂数学序列和级数非常有用。总体来说，《积分、级数与乘积表》是数学工作者和学生的重要参考资料，提供了大量的积分和级数计算公式，有助于快速准确地解决问题。无论是初学者还是经验丰富的专业人士，都能从中受益，提高计算效率并深化对积分和级数理论的理解。

CONTENTS xv

9.73 Euler’s and Catalan’s constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1046

9.74 Stirling numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1046

10 Vector Field Theory 1049

10.1–10.8 Vectors, Vector Operators, and Integral Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . 1049

10.11 Products of vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1049

10.12 Properties of scalar product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1049

10.13 Properties of vector product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1049

10.14 Diﬀerentiation of vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1050

10.21 Operators grad, div, and curl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1050

10.31 Properties of the operator ∇ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1051

10.41 Solenoidal ﬁelds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1052

10.51–10.61 Orthogonal curvilinear coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1052

10.71–10.72 Vector integral theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1055

10.81 Integral rate of change theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1057

11 Algebraic Inequalities 1059

11.1–11.3 General Algebraic Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1059

11.11 Algebraic inequalities involving real numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1059

11.21 Algebraic inequalities involving complex numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . 1060

11.31 Inequalities for sets of complex numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1061

12 Integral Inequalities 1063

12.11 Mean Value Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1063

12.111 First mean value theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1063

12.112 Second mean value theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1063

12.113 First mean value theorem for inﬁnite integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1063

12.114 Second mean value theorem for inﬁnite integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . 1064

12.21 Diﬀerentiation of Deﬁnite Integral Containing a Parameter . . . . . . . . . . . 1064

12.211 Diﬀerentiation when limits are ﬁnite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1064

12.212 Diﬀerentiation when a limit is inﬁnite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1064

12.31 Integral Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1064

12.311 Cauchy-Schwarz-Buniakowsky inequality for integrals . . . . . . . . . . . . . . 1064

12.312 H¨older’s inequality for integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1064

12.313 Minkowski’s inequality for integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1065

12.314 Chebyshev’s inequality for integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1065

12.315 Young’s inequality for integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1065

12.316 Steﬀensen’s inequality for integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1065

12.317 Gram’s inequality for integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1065

12.318 Ostrowski’s inequality for integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1066

12.41 Convexity and Jensen’s Inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1066

12.411 Jensen’s inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1066

12.412 Carleman’s inequality for integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1066

12.51 Fourier Series and Related Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1066

12.511 Riemann-Lebesgue lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1067

12.512 Dirichlet lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1067

12.513 Parseval’s theorem for trigonometric Fourier series . . . . . . . . . . . . . . . . 1067

12.514 Integral representation of the n

partial sum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1067

xvi CONTENTS

12.515 Generalized Fourier series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1067

12.516 Bessel’s inequality for generalized Fourier series . . . . . . . . . . . . . . . . . 1068

12.517 Parseval’s theorem for generalized Fourier series . . . . . . . . . . . . . . . . . 1068

13 Matrices and Related Results 1069

13.11–13.12 Special Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1069

13.111 Diagonal matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1069

13.112 Identity matrix and null matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1069

13.113 Reducible and irreducible matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1069

13.114 Equivalent matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1069

13.115 Transpose of a matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1069

13.116 Adjoint matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1070

13.117 Inverse matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1070

13.118 Trace of a matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1070

13.119 Symmetric matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1070

13.120 Skew-symmetric matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1070

13.121 Triangular matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1070

13.122 Orthogonal matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1070

13.123 Hermitian transpose of a matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1070

13.124 Hermitian matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1070

13.125 Unitary matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1071

13.126 Eigenvalues and eigenvectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1071

13.127 Nilpotent matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1071

13.128 Idempotent matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1071

13.129 Positive deﬁnite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1071

13.130 Non-negative deﬁnite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1071

13.131 Diagonally dominant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1071

13.21 Quadratic Forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1071

13.211 Sylvester’s law of inertia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1072

13.212 Rank . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1072

13.213 Signature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1072

13.214 Positive deﬁnite and semideﬁnite quadratic form . . . . . . . . . . . . . . . . . 1072

13.215 Basic theorems on quadratic forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1072

13.31 Diﬀerentiation of Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1073

13.41 The Matrix Exponential

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1074

3.411 Basic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1074

14 Determinants 1075

14.11 Expansion of Second- and Third-Order Determinants . . . . . . . . . . . . . . 1075

14.12 Basic Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1075

14.13 Minors and Cofactors of a Determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1075

14.14 Principal Minors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1076

14.15

Laplace Expansion of a Determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1076

14.16 Jacobi’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1076

14.17 Hadamard’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1077

14.18 Hadamard’s Inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1077

14.21 Cramer’s Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1077

14.31 Some Special Determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1078

CONTENTS xvii

14.311 Vandermonde’s determinant (alternant) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1078

14.312 Circulants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1078

14.313 Jacobian determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1078

14.314 Hessian determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1079

14.315 Wronskian determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1079

14.316 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1079

14.317 Gram-Kowalewski theorem on linear dependence . . . . . . . . . . . . . . . . . 1080

15 Norms 1081

15.1–15.9 Vector Norms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1081

15.11 General Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1081

15.21 Principal Vector Norms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1081

15.211 The norm ||x||

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1081

15.212 The norm ||x||

(Euclidean or L

norm) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1081

15.213 The norm ||x||

∞

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1081

15.31 Matrix Norms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1082

15.311 General properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1082

15.312 Induced norms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1082

15.313 Natural norm of unit matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1082

15.41 Principal Natural Norms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1082

15.411 Maximum absolute column sum norm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1082

15.412 Spectral norm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1082

15.413 Maximum absolute row sum norm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1083

15.51 Spectral Radius of a Square Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1083

15.511 Inequalities concerning matrix norms and the spectral radius . . . . . . . . . . 1083

15.512 Deductions from Gerschgorin’s theorem (see 15.814) . . . . . . . . . . . . . . 1083

15.61 Inequalities Involving Eigenvalues of Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1084

15.611 Cayley-Hamilton theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1084

15.612 Corollaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1084

15.71 Inequalities for the Characteristic Polynomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1084

15.711 Named and unnamed inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1085

15.712 Parodi’s theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1086

15.713 Corollary of Brauer’s theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1086

15.714 Ballieu’s theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1086

15.715 Routh-Hurwitz theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1086

15.81–15.82 Named Theorems on Eigenvalues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1087

15.811 Schur’s inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1087

15.812 Sturmian separation theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1087

15.813 Poincare’s separation theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1087

15.814 Gerschgorin’s theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1088

15.815 Brauer’s theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1088

15.816 Perron’s theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1088

15.817 Frobenius theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1088

15.818 Perron–Frobenius theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1088

15.819 Wielandt’s theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1088

15.820 Ostrowski’s theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1089

15.821 First theorem due to Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1089

15.822 Second theorem due to Lyapunov

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1089

xviii CONTENTS

15.823 Hermitian matrices and diophantine relations involving circular functions of

rational angles due to Calogero and Perelomov . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1089

15.91 Variational Principles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1091

15.911 Rayleigh quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1091

15.912 Basic theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1091

16 Ordinary Diﬀerential Equations 1093

16.1–16.9 Results Relating to the Solution of Ordinary Diﬀerential Equations . . . . . . . 1093

16.11 First-Order Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1093

16.111 Solution of a ﬁrst-order equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1093

16.112 Cauchy problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1093

16.113 Approximate solution to an equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1093

16.114 Lipschitz continuity of a function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1094

16.21 Fundamental Inequalities and Related Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1094

16.211 Gronwall’s lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1094

16.212 Comparison of approximate solutions of a diﬀerential equation . . . . . . . . . 1094

16.31 First-Order Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1094

16.311 Solution of a system of equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1094

16.312 Cauchy problem for a system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1095

16.313 Approximate solution to a system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1095

16.314 Lipschitz continuity of a vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1095

16.315 Comparison of approximate solutions of a system . . . . . . . . . . . . . . . . 1096

16.316 First-order linear diﬀerential equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1096

16.317 Linear systems of diﬀerential equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1096

16.41 Some Special Types of Elementary Diﬀerential Equations . . . . . . . . . . . . 1097

16.411 Variables separable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1097

16.412 Exact diﬀerential equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1097

16.413 Conditions for an exact equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1097

16.414 Homogeneous diﬀerential equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1097

16.51 Second-Order Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1098

16.511 Adjoint and self-adjoint equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1098

16.512 Abel’s identity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1098

16.513 Lagrange identity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1099

16.514 The Riccati equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1099

16.515 Solutions of the Riccati equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1099

16.516

Solution of a second-order linear diﬀerential equation . . . . . . . . . . . . . . 1100

16.61–16.62 Oscillation and Non-Oscillation Theorems for Second-Order Equations . . . . . 1100

16.611 First basic comparison theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1100

16.622 Second basic comparison theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1101

16.623 Interlacing of zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1101

16.624 Sturm separation theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1101

16.625 Sturm comparison theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1101

16.626 Szeg¨o’s comparison theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1101

16.627 Picone’s identity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1102

16.628 Sturm-Picone theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1102

16.629 Oscillation on the half line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1102

16.71 Two Related Comparison Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1103

16.711 Theorem 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1103

CONTENTS xix

16.712 Theorem 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1103

16.81–16.82 Non-Oscillatory Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1103

16.811 Kneser’s non-oscillation theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1103

16.822 Comparison theorem for non-oscillation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1104

16.823 Necessary and suﬃcient conditions for non-oscillation . . . . . . . . . . . . . . 1104

16.91 Some Growth Estimates for Solutions of Second-Order Equations . . . . . . . . 1104

16.911 Strictly increasing and decreasing solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1104

16.912 General result on dominant and subdominant solutions . . . . . . . . . . . . . 1104

16.913 Estimate of dominant solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1105

16.914 A theorem due to Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1105

16.92 Boundedness Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1106

16.921 All solutions of the equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1106

16.922 If all solutions of the equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1106

16.923 If a(x) →∞monotonically as x →∞, then all solutions of . . . . . . . . . . . 1106

16.924 Consider the equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1106

16.93 Growth of maxima of |y| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1106

17 Fourier, Laplace, and Mellin Transforms 1107

17.1–17.4 Integral Transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1107

17.11 Laplace transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1107

17.12 Basic properties of the Laplace transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1107

17.13 Table of Laplace transform pairs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1108

17.21 Fourier transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1117

17.22 Basic properties of the Fourier transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1118

17.23 Table of Fourier transform pairs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1118

17.24 Table of Fourier transform pairs for spherically symmetric functions . . . . . . . 1120

17.31 Fourier sine and cosine transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1121

17.32 Basic properties of the Fourier sine and cosine transforms . . . . . . . . . . . . 1121

17.33 Table of Fourier sine transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1122

17.34 Table of Fourier cosine transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1126

17.35 Relationships between transforms

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1129

17.41 Mellin transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1129

17.42 Basic properties of the Mellin transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1130

17.43 Table of Mellin transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1131

18 The z-Transform 1135

18.1–18.3 Deﬁnition, Bilateral, and Unilateral z-Transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . 1135

18.1 Deﬁnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1135

18.2 Bilateral z-transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1136

18.3 Unilateral z-transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1138

References 1141

Supplemental references 1145

Index of Functions and Constants 1151

General Index of Concepts 1161

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[1] G. Eason, B. Noble, and I. N. Sneddon, “On certain integrals of Lipschitz-Hankel type involving products of Bessel functions,” Phil. Trans. Roy. Soc. London, vol. A247, pp. 529–551, April 1955. 生成上面格式的参考文献代码

帮我写python代码，读取excel中光谱仪采的光谱，输入两列(中心波长和信号谱宽)，计算每个中心波长在信号谱宽内的积分功率

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