贝叶斯公式详解：证人证词下的概率更新

本文主要介绍了如何理解并应用贝叶斯公式，特别是针对一个具体的概率问题——某城市发生汽车撞人逃跑事件中的概率计算。作者李现民在知乎上分享了这个问题的分析过程。在这个情境中，城市里的车辆分为蓝色和绿色，蓝色占比15%，绿色占比85%。 首先，如果没有证人的情况下，我们根据先验概率（即在没有额外信息时的默认概率），推测肇事车辆是蓝色的概率为15%。这是贝叶斯公式的基础，即P(B)，表示在没有任何证据之前，蓝色车的概率。 当证人出现时，情况变得复杂。证人指认车辆是蓝色，但其正确判断的可能性只有80%。按照贝叶斯公式，我们需要考虑两种可能的情况：一是证人确实看到了蓝色车并正确识别（P(E|B)），二是证人误判了（P(E|~B)）。通过计算这两种情况下的概率乘积，我们得到P(E)，即证人指认是蓝色车的总概率。 具体来说： - P(E,B) = P(B) * P(E|B) = 0.15 * 0.8 = 0.12 - P(E,~B) = P(~B) * P(E|~B) = 0.85 * (1 - 0.8) = 0.17 - P(E) = P(E,B) + P(E,~B) = 0.12 + 0.17 = 0.29 在有证人的情况下，我们想知道的是在证人指认后，车辆是蓝色的概率，即条件概率P(B|E)，计算方法为 P(B|E) = P(E,B) / P(E) = 0.12 / 0.29 ≈ 0.41。这表明有证人的情况下，蓝色车的概率显著提高。 另一个作者徐炎琨进一步强调，当有更多的证据（如第二个证人也认为是蓝色车）加入时，新的贝叶斯计算会基于之前的条件概率进行更新。例如，如果有两个证人都指认是蓝色车，基础概率P(B)会从原来的0.15提升到0.41的0.73倍，这意味着车辆是蓝色的证据更加确凿，概率进一步增加。 总结来说，贝叶斯公式提供了一种动态更新概率的方法，它允许我们在面临不确定性和新证据时调整我们的信念。在这个案例中，证人的陈述和错误率引入了一个条件概率的计算，使得我们能够更准确地评估车辆颜色的真实概率。这个过程展示了贝叶斯理论在实际问题中的应用和重要性。