全球策略优化的收敛性：MDP与神经政策梯度

"这篇PDF文件是关于'Global Convergence of Policy Optimization'的讲座材料，主要由Tengyang Xie和Wenbin Wan讲解。内容涵盖了背景知识、在表格式MDPs中的全局收敛、带有函数近似的全局收敛以及神经策略梯度方法。文件详细介绍了马尔科夫决策过程（MDP）的概念，包括状态、动作、转移函数、奖励函数、折扣因子和初始状态分布，并定义了与值函数和策略相关的各种概念，如策略、价值函数、Q函数、优势函数以及期望折扣回报。此外，还讨论了最优策略及其对应的值函数和Q函数。" 在深入探讨全局策略优化的收敛性之前，我们首先需要理解马尔科夫决策过程（MDP）的基础。MDP是一个用于建模决策问题的数学框架，它假设当前状态完全决定了未来的发展，而不考虑过去的历史。MDP由一系列元素构成：状态集合S、动作集合A、状态转移概率函数P、奖励函数R、折扣因子γ以及初始状态分布d0。状态s属于S，动作a取自A。当执行动作a时，根据转移函数P，系统会从当前状态s转移到下一个状态。奖励函数R给出每个状态-动作对的奖励值，范围在[0, Rmax]之间。折扣因子γ用于平衡即时奖励和未来的奖励，其值在[0, 1)之间。 政策π是MDP的核心，它定义了在给定状态下选择动作的概率分布。一个策略诱导出一个随机轨迹，包含一系列的状态、动作和奖励。值函数Vπ(s)表示从状态s出发，遵循策略π时的预期折扣回报。Q函数Qπ(s,a)则给出了在状态s执行动作a后，遵循π的预期折扣回报。优势函数Aπ(s,a)衡量了在状态s执行动作a相比于遵循策略π的平均行为的额外收益。期望折扣回报J(π)是所有初始状态的加权平均值，表示从初始状态分布d0开始，遵循策略π时的总体回报。 最优策略π⋆是能够获得最大期望折扣回报的策略，相应的值函数V⋆和Q函数Q⋆给出了在MDP中可能达到的最大回报。为了评估和优化策略，我们需要考虑在长期运行中，状态被访问的频率，这被称为正常化的折扣状态占用分布dπ(s)，它反映了在遵循策略π的情况下，状态s的长期出现概率。 全局收敛是政策优化中的关键概念，它意味着通过迭代优化过程，算法将收敛到最优策略π⋆。在没有函数近似的情况下，对于有限状态和动作的MDP，可以通过动态规划方法保证全局收敛。然而，在实际应用中，由于状态和动作空间往往是连续的或无限的，通常需要使用函数近似（如神经网络）来近似值函数或策略。在这种情况下，证明全局收敛变得更加复杂，但一些优化算法如策略梯度方法能够保证在某些条件下局部收敛。 神经策略梯度方法是一种常用的函数近似策略优化技术，它利用神经网络来参数化策略，并通过梯度上升法更新网络权重以最大化期望折扣回报J(π)。尽管这些方法可能无法保证全局收敛，但在实践中已被证明非常有效，并广泛应用于强化学习问题中。 该文件深入探讨了在MDP中进行全局策略优化的理论和方法，从基本概念到高级技术，对于理解强化学习的收敛性质和策略优化算法具有重要的指导意义。