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作者简介 王钢林 男 四川成都人 博士生 北京
基 于 QR 分 解 求 解 带 顶 点 三 对 角 带 状 线 性 方 程 组
王钢林 武 哲
北京航空航天大学 飞行器设计与应用力学系
摘 要 带顶点三对角带状线性方程组在实际问题的求解过程中经常遇
到 一般情况下此类方程组没有实用有效的求解方法 与现有一般基于 LU 分解的或
其他一些迭代方法不同 基于实际很少采用的矩阵 QR 分解方法 利用其对各类矩阵
普遍适用的优点 给合此类带状线性方程组的特点 提出并探讨了将 QR 分解应用于
该类方程组的求解过程 既利用了 QR 分解保证足够的精度 又避免了一般 QR 分解
过大的计算量 分析和实际计算均表明 该方法在计算精度及计算量方面均满足实
际应用的要求
关 键 词 算法 线性方程组 三对角矩阵 QR 分解
中图分类号 O
文献标识码 A 文 章 编 号
线性方程组的求解问题在实际工程应用中经
常遇到 通常都根据不同方程组所独有的特点构
造出具有针对性的方法
1 问题的提出
考虑形如
Ax
d
A
b
c
a
a
b
c
a
n
b
n
c
n
c
n
a
n
b
n
的带状线性方程组 a
和 c
n
同时为 则退化成
为三对角线线性方程组 式的形式在实际问题
中经常出现 如 B 样条控制顶点反算过程
又如
CFD计算流体力学对一维问题进行三点中心差
分离散的情况
对于式一般没有实用有效的求解方法 对
于三对角线性方程组一般采用追赶法 但是追赶
法要求 A 满足主对角占优条件 否则会带来很大
的误差 从而必须考虑高斯
赛德尔迭代法 高斯
列主 元 素 消 去 法 等 基 于 LU 分 解 或 迭 代 的 方
法
这些方法虽然较精确 但计算量大 不便实
际应用 因此 式需要更为普遍有效的求解方
法
2 基于 QR 分解三角化线性方程组
根据矩阵理论 任意矩阵 A 总可以分解为正
交酉矩阵 Q 与正线上三角矩阵 R 之积
A
QR
因此对式中的 A 进行 QR 分解后就可以将其
化为一个易于求解上三角线性方程组
Rx
Q
d
Q
H
d
d
更有效率的方法是利用镜像映射矩阵完成 A 的
QR 分解并直接得到式中的 R 和 d
镜像映射矩阵 又称初等 埃 尔米特矩阵或
Householder 矩阵是因其几何意义而得名 如图
所示 若空间中的向量 z 和 z
关于平面 M 对称
且 M 的单位法矢为 w 则
H
l
ww
T
即为镜像映射矩阵 H 为正交矩阵 有
Hz
z
若令
图 镜像对称矢量
年 月
第卷 第期
北 京 航 空 航 天 大 学 学 报
Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics
April
Vol No