利用QR分解求解最小二乘问题matlab示例
时间: 2023-08-10 19:07:11 浏览: 69
假设有一个线性方程组 $Ax=b$,其中 $A$ 是 $m\times n$ 的矩阵,$b$ 是 $m\times 1$ 的向量。最小二乘问题就是要找到一个 $n\times 1$ 的向量 $x$,使得 $\left\| Ax-b \right\|$ 最小。
利用 QR 分解可以求解最小二乘问题。具体步骤如下:
1. 对 $A$ 进行 QR 分解,得到 $A=QR$,其中 $Q$ 是 $m\times m$ 的正交矩阵,$R$ 是 $m\times n$ 的上三角矩阵。
2. 将方程组 $Ax=b$ 变形成 $QRx=b$,即 $Rx=Q^Tb$。
3. 由于 $R$ 是上三角矩阵,可以使用回代法求解 $Rx=Q^Tb$。
4. 解得 $x$。
下面是 MATLAB 代码示例:
```matlab
% 生成随机矩阵A和向量b
m = 5;
n = 3;
A = randn(m, n);
b = randn(m, 1);
% 对A进行QR分解
[Q, R] = qr(A);
% 将方程组Ax=b变成QRx=b
b_hat = Q' * b;
% 回代求解Rx=Q'b
x = zeros(n, 1);
for i = n:-1:1
x(i) = (b_hat(i) - R(i, i+1:n)*x(i+1:n)) / R(i, i);
end
% 输出结果
disp(x);
```
这段代码生成一个 $5\times 3$ 的随机矩阵 $A$ 和一个随机向量 $b$,然后对 $A$ 进行 QR 分解,求解最小二乘问题,最后输出解 $x$。
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用QR分解法求解最小二乘问题matlab
在 MATLAB 中,可以使用 QR 分解来求解最小二乘问题。具体步骤如下:
1. 假设有一个线性方程组 Ax=b,其中 A 是 m×n 的矩阵,m>n。则最小二乘问题可以表示为 min ||Ax-b||。
2. 对 A 进行 QR 分解,得到 QR=A,其中 Q 是一个 m×m 的正交矩阵,R 是一个 m×n 上三角矩阵。
3. 将最小二乘问题转化为 min ||Rx-Q^Tb||,其中 Q^T 是 Q 的转置。
4. 利用 MATLAB 中的反斜杠符号(\)求解这个新的线性方程组,即 R*x=Q^T*b。这里 x 就是最小二乘解。
下面是一个 MATLAB 代码示例:
```matlab
% 构造矩阵 A 和向量 b
A = [1 2; 3 4; 5 6];
b = [7; 8; 9];
% 进行 QR 分解
[Q,R] = qr(A);
% 求解最小二乘问题
x = R\(Q'*b);
% 输出结果
disp(x);
```
在这个示例中,A 是一个 3×2 的矩阵,b 是一个 3×1 的向量。通过 QR 分解得到 Q 和 R,然后利用反斜杠符号求解最小二乘问题。最终输出的 x 就是最小二乘解。
HouseholderQR分解求解解Tikhonov正则化最小二乘matlab程序
以下是使用Householder QR分解求解Tikhonov正则化最小二乘问题的MATLAB程序示例:
```matlab
function x = tikhonov_ls(A, b, alpha)
% 使用Householder QR分解求解Tikhonov正则化最小二乘问题
% 输入参数:
% A: m x n 系数矩阵
% b: m x 1 右侧向量
% alpha: 正则化参数
% 输出参数:
% x: n x 1 最小二乘解
[m, n] = size(A);
R = [A; alpha * eye(n)];
Q = eye(m+n);
% Householder QR分解
for i = 1:n
x = R(i:m+i-1, i);
v = sign(x(1)) * norm(x) * eye(length(x),1) + x;
v = v / norm(v);
R(i:m+i-1, i:n) = R(i:m+i-1, i:n) - 2 * v * (v' * R(i:m+i-1, i:n));
Q(i:m+n, i:m+n) = Q(i:m+n, i:m+n) - 2 * (Q(i:m+n, i:m+n) * v) * v';
end
% 解方程
Q1 = Q(:,1:n);
R1 = R(1:n,:);
y = Q1' * b;
x = R1 \ y;
```
使用该函数,可以解决形如以下的Tikhonov正则化最小二乘问题:
$$
\min_{x}\|Ax-b\|_2^2+\alpha\|x\|_2^2
$$
其中,$A$是$m\times n$的系数矩阵,$b$是$m\times 1$的右侧向量,$\alpha$是正则化参数。