利用QR分解求解最小二乘问题matlab示例

假设有一个线性方程组 $Ax=b$，其中 $A$ 是 $m\times n$ 的矩阵，$b$ 是 $m\times 1$ 的向量。最小二乘问题就是要找到一个 $n\times 1$ 的向量 $x$，使得 $\left\| Ax-b \right\|$ 最小。

利用 QR 分解可以求解最小二乘问题。具体步骤如下：

1. 对 $A$ 进行 QR 分解，得到 $A=QR$，其中 $Q$ 是 $m\times m$ 的正交矩阵，$R$ 是 $m\times n$ 的上三角矩阵。

2. 将方程组 $Ax=b$ 变形成 $QRx=b$，即 $Rx=Q^Tb$。

3. 由于 $R$ 是上三角矩阵，可以使用回代法求解 $Rx=Q^Tb$。

4. 解得 $x$。

下面是 MATLAB 代码示例：

% 生成随机矩阵A和向量b
m = 5;
n = 3;
A = randn(m, n);
b = randn(m, 1);

% 对A进行QR分解
[Q, R] = qr(A);

% 将方程组Ax=b变成QRx=b
b_hat = Q' * b;

% 回代求解Rx=Q'b
x = zeros(n, 1);
for i = n:-1:1
    x(i) = (b_hat(i) - R(i, i+1:n)*x(i+1:n)) / R(i, i);
end

% 输出结果
disp(x);

这段代码生成一个 $5\times 3$ 的随机矩阵 $A$ 和一个随机向量 $b$，然后对 $A$ 进行 QR 分解，求解最小二乘问题，最后输出解 $x$。

相关问题

用QR分解法求解最小二乘问题matlab

在 MATLAB 中，可以使用 QR 分解来求解最小二乘问题。具体步骤如下：

1. 假设有一个线性方程组 Ax=b，其中 A 是 m×n 的矩阵，m>n。则最小二乘问题可以表示为 min ||Ax-b||。

2. 对 A 进行 QR 分解，得到 QR=A，其中 Q 是一个 m×m 的正交矩阵，R 是一个 m×n 上三角矩阵。

3. 将最小二乘问题转化为 min ||Rx-Q^Tb||，其中 Q^T 是 Q 的转置。

4. 利用 MATLAB 中的反斜杠符号（\）求解这个新的线性方程组，即 R*x=Q^T*b。这里 x 就是最小二乘解。

下面是一个 MATLAB 代码示例：

% 构造矩阵 A 和向量 b
A = [1 2; 3 4; 5 6];
b = [7; 8; 9];

% 进行 QR 分解
[Q,R] = qr(A);

% 求解最小二乘问题
x = R\(Q'*b);

% 输出结果
disp(x);

在这个示例中，A 是一个 3×2 的矩阵，b 是一个 3×1 的向量。通过 QR 分解得到 Q 和 R，然后利用反斜杠符号求解最小二乘问题。最终输出的 x 就是最小二乘解。

qr分解求最小二乘问题matlab

### 使用 MATLAB 进行 QR 分解求解最小二乘问题

为了在 MATLAB 中使用 QR 分解来解决最小二乘问题，可以通过以下方式实现：

#### 方法概述
QR 分解是一种有效的方法用于求解线性最小二乘问题。给定一个超定系统 \(Ax=b\) （其中 \(A\) 是 m×n 矩阵且 m>n），目标是最小化误差向量的欧几里得范数 \(\| Ax-b \|_2\)[^2]。

#### 实现过程
具体来说，在 MATLAB 中执行此操作涉及以下几个方面：

- **获取 Q 和 R**
利用 `qr` 函数可以直接获得矩阵 A 的 QR 分解结果。对于满秩的情况，可以选择经济型分解以节省内存空间。

% 假设 A 是输入的数据矩阵, b 是观测值向量
[Q,R] = qr(A,'econ'); % 经济型 QR 分解

- **构建并求解简化后的三角形方程组**
接下来利用上述得到的 Q 和 R 来转换原始问题为更容易处理的形式：\(Rx=Q'*b\) 。由于 R 是上三角矩阵，因此可以采用回带法高效地找到最优解 x*。

y = Q' * b;
x_star = R \ y;      % 或者更简洁的方式: x_star = R\(Q'*b);

这样就完成了基于 QR 分解的最小二乘拟合计算。

#### 完整示例代码
下面给出一段完整的 MATLAB 脚本来展示整个流程的应用实例:

clc; clear all;

% 构造测试数据集 (模拟实际应用场景中的测量噪声)
m = 100; n = 5;
X = rand(m,n);       % 随机生成设计矩阵 X
beta_true = ones(n,1)*3;% 设定真实的参数 beta
noise_level = .1;
epsilon = noise_level .* randn(size(X,1),1); % 添加高斯白噪声音
Y = X * beta_true + epsilon;                 % 得到含噪音的目标变量 Y

% 应用 QR 分解来进行最小二乘估计
[Q,R] = qr(X,'econ');
beta_estimated = R\(Q'*Y);

disp('Estimated coefficients:');
disp(beta_estimated');

mse_error = mean((X*beta_estimated-Y).^2);
fprintf('Mean Squared Error of estimation is %.4f\n', mse_error);

这段程序首先创建了一个带有随机扰动项的小样本回归模型作为例子，接着应用了 QR 分解技术去估算未知系数，并最终评估了解的质量——均方误差 MSE。