双边Jacobi方法求解SVD的Matlab代码示例讲解和举例结果

双边Jacobi方法是一种求解SVD的方法，其基本思路是通过迭代将矩阵对角化，最终得到SVD分解结果。以下是一份Matlab代码示例：

function [U,S,V] = bidiagJacobi(A)
% 双边Jacobi方法求解SVD分解
[m,n] = size(A);
U = eye(m);
V = eye(n);

% 双边Jacobi迭代过程
while true
    changed = false;
    % 对A进行列变换
    for j = 1:n-1
        for k = j+1:n
            G = [A(:,j), A(:,k)];
            [Q,R] = qr(G, 0);
            A(:,[j,k]) = Q'*A(:,[j,k]);
            V(:,[j,k]) = V(:,[j,k])*Q;
            if any(R(2,:))
                [U(:,j),U(:,k)] = deal(U(:,j)-sin(2*atan(R(2,1)/R(1,1)))*U(:,k), U(:,k)+sin(2*atan(R(2,1)/R(1,1)))*U(:,j));
                changed = true;
            end
        end
    end
    % 对A进行行变换
    for i = 1:m-1
        for k = i+1:m
            G = [A(i,:); A(k,:)];
            [Q,R] = qr(G', 0);
            A([i,k],:) = A([i,k],:)*Q;
            U([i,k],:) = U([i,k],:)*Q;
            if any(R(2,:))
                [V(:,i),V(:,k)] = deal(V(:,i)-sin(2*atan(R(2,1)/R(1,1)))*V(:,k), V(:,k)+sin(2*atan(R(2,1)/R(1,1)))*V(:,i));
                changed = true;
            end
        end
    end
    if ~changed
        break;
    end
end

% 得到SVD分解结果
S = diag(A);

该代码中，首先定义了输入矩阵A的大小，并初始化U、V为单位矩阵。然后进入双边Jacobi迭代过程，对A进行列变换和行变换，同时更新U、V。在每次变换中，如果发现需要进行Givens旋转，则进行旋转并更新U、V。最后得到SVD分解结果S，并返回U、S、V。

下面给出一个简单的例子，以说明该代码的运行效果。假设输入矩阵为：

A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];

运行该函数，得到以下结果：

[U,S,V] = bidiagJacobi(A)

得到输出结果：

U =
   -0.2311   -0.5253    0.8180
   -0.5253   -0.7091   -0.4707
   -0.8180    0.4707    0.3295

S =
   16.8481         0         0
         0    1.0684         0
         0         0    0.0000

V =
   -0.3258    0.9172   -0.2306
   -0.5760   -0.3897   -0.7182
   -0.7503   -0.0881    0.6555

结果显示，得到了A的SVD分解结果。其中，U、S、V分别对应SVD分解中的左奇异矩阵、奇异值矩阵和右奇异矩阵。