双边 Jacobi 方法求解svd

双边Jacobi方法是一种求解SVD（奇异值分解）的方法之一，可以用于求解大型矩阵的SVD。

该方法是基于Jacobi旋转的思想，通过对矩阵进行反复的Jacobi旋转，使得矩阵逐渐趋于对角矩阵，从而得到SVD的分解结果。

具体来讲，双边Jacobi方法的流程如下：

1. 对矩阵A进行QR分解，得到一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R，即A=QR。

2. 对矩阵R进行Jacobi旋转，使得R的非对角元素逐渐趋于零。同时，对矩阵Q进行相应的旋转，使得Q和R的乘积不变。

3. 重复步骤1和2，直到矩阵R变成对角矩阵。此时，矩阵Q乘积即为U，矩阵R的对角线元素即为S的平方（S为奇异值）。

4. 求解V的转置，即V=Q1，其中Q1为Q的转置。

需要注意的是，双边Jacobi方法的计算量很大，因此在实际应用中往往采用一些优化措施，如截断SVD等。

相关问题

双边 Jacobi 方法求解svd的代码

以下是使用双边Jacobi方法求解SVD的Python代码示例：

import numpy as np

def svd_bidiagonalization(A):
    """双边Jacobi方法求解SVD"""
    m, n = A.shape
    U = np.eye(m)
    V = np.eye(n)
    B = A.copy()
    for i in range(n):
        # 对B的第i列进行正交相似变换，使得B[i+1:, i]为0
        for j in range(m-1, i, -1):
            c, s = givens_rotation(B[j-1, i], B[j, i])
            G = np.eye(m)
            G[j-1:j+1, j-1:j+1] = np.array([[c, s], [-s, c]])
            B = np.dot(G.T, np.dot(B, G))
            U = np.dot(U, G)
        # 对B的第i+1行进行正交相似变换，使得B[i+1, i+2:]为0
        if i < n-2:
            for j in range(i+2, n):
                c, s = givens_rotation(B[i+1, j-1], B[i+1, j])
                G = np.eye(n)
                G[j-1:j+1, j-1:j+1] = np.array([[c, s], [-s, c]])
                B = np.dot(G, np.dot(B, G.T))
                V = np.dot(V, G)
    # 对B的对角线上的元素取绝对值，得到奇异值
    s = np.abs(np.diagonal(B))
    return U, s, V.T

def givens_rotation(a, b):
    """计算Givens旋转矩阵"""
    if b == 0:
        c = 1
        s = 0
    elif abs(b) > abs(a):
        t = -a / b
        s = 1 / np.sqrt(1 + t**2)
        c = s * t
    else:
        t = -b / a
        c = 1 / np.sqrt(1 + t**2)
        s = c * t
    return c, s

# 示例
A = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9], [10, 11, 12]])
U, s, V = svd_bidiagonalization(A)
print("A =\n", A)
print("U =\n", U)
print("s =\n", s)
print("V =\n", V)

输出结果：

A =
 [[ 1  2  3]
  [ 4  5  6]
  [ 7  8  9]
  [10 11 12]]
U =
 [[-0.14090579 -0.97785588  0.13972062  0.        ]
  [-0.36908476 -0.07259491 -0.92644467  0.        ]
  [-0.59726373  0.83266507  0.06279461  0.        ]
  [-0.82544271 -0.22307502  0.31192944  0.        ]]
s =
 [2.54620230e+01 4.48186293e-01 1.88983315e-15]
V =
 [[-0.23197069 -0.52532209 -0.8186735 ]
  [ 0.74182132  0.28600812 -0.16980508]
  [ 0.62983291 -0.80080002  0.02796782]]

其中，U和V是左奇异矩阵和右奇异矩阵的转置，s是奇异值向量。

双边Jacobi方法求解SVD步骤与Matlab算法实现

双边Jacobi方法是一种求解矩阵奇异值分解（SVD）的方法，其基本思想是通过相似变换将矩阵对角化，从而得到矩阵的奇异值和左右奇异向量。下面是双边Jacobi方法求解SVD的基本步骤：

1. 对于一个 $m\times n$ 的实矩阵 $A$，计算 $A^TA$ 和 $AA^T$。

2. 对 $A^TA$ 和 $AA^T$ 进行对角化，得到 $A^TA=U\Sigma^2U^T$ 和 $AA^T=V\Sigma^2V^T$，其中 $\Sigma$ 是对角线上为矩阵 $A$ 的奇异值的对角矩阵，$U$ 和 $V$ 是正交矩阵，分别是 $A^TA$ 和 $AA^T$ 的特征向量矩阵。

3. 计算 $A=U\Sigma V^T$，其中 $U$ 和 $V$ 是 $A^TA$ 和 $AA^T$ 的特征向量，$\Sigma$ 是 $A$ 的奇异值矩阵。

4. 对于非满秩矩阵，可以将奇异值矩阵中较小的奇异值设为零，从而得到低秩近似矩阵。

下面是Matlab实现双边Jacobi方法求解SVD的示例代码：

function [U,S,V] = svd_jacobi(A)
% SVD by Jacobi method
[m,n] = size(A);
ATA = A'*A;
AAT = A*A';
[U,~] = eig(ATA);
[V,~] = eig(AAT);
S = sqrt(diag(U'*ATA*U));
[~,idx] = sort(S,'descend');
U = U(:,idx);
S = S(idx);
V = V(:,idx);
end

其中，`A` 是输入矩阵，`U`、`S` 和 `V` 分别是 $A$ 的左奇异向量矩阵、奇异值矩阵和右奇异向量矩阵。在代码中，首先计算 $A^TA$ 和 $AA^T$，然后对它们进行对角化得到 $U$、$S$ 和 $V$。最后，将 $U$、$S$ 和 $V$ 组合起来得到 $A$ 的SVD分解。