双边Jacobi方法求解SVD步骤与Matlab算法实现

双边Jacobi方法是一种求解矩阵奇异值分解（SVD）的方法，其基本思想是通过相似变换将矩阵对角化，从而得到矩阵的奇异值和左右奇异向量。下面是双边Jacobi方法求解SVD的基本步骤：

1. 对于一个 $m\times n$ 的实矩阵 $A$，计算 $A^TA$ 和 $AA^T$。

2. 对 $A^TA$ 和 $AA^T$ 进行对角化，得到 $A^TA=U\Sigma^2U^T$ 和 $AA^T=V\Sigma^2V^T$，其中 $\Sigma$ 是对角线上为矩阵 $A$ 的奇异值的对角矩阵，$U$ 和 $V$ 是正交矩阵，分别是 $A^TA$ 和 $AA^T$ 的特征向量矩阵。

3. 计算 $A=U\Sigma V^T$，其中 $U$ 和 $V$ 是 $A^TA$ 和 $AA^T$ 的特征向量，$\Sigma$ 是 $A$ 的奇异值矩阵。

4. 对于非满秩矩阵，可以将奇异值矩阵中较小的奇异值设为零，从而得到低秩近似矩阵。

下面是Matlab实现双边Jacobi方法求解SVD的示例代码：

function [U,S,V] = svd_jacobi(A)
% SVD by Jacobi method
[m,n] = size(A);
ATA = A'*A;
AAT = A*A';
[U,~] = eig(ATA);
[V,~] = eig(AAT);
S = sqrt(diag(U'*ATA*U));
[~,idx] = sort(S,'descend');
U = U(:,idx);
S = S(idx);
V = V(:,idx);
end

其中，`A` 是输入矩阵，`U`、`S` 和 `V` 分别是 $A$ 的左奇异向量矩阵、奇异值矩阵和右奇异向量矩阵。在代码中，首先计算 $A^TA$ 和 $AA^T$，然后对它们进行对角化得到 $U$、$S$ 和 $V$。最后，将 $U$、$S$ 和 $V$ 组合起来得到 $A$ 的SVD分解。