双边Jacobi求解SVD步骤与Matlab算法实现
时间: 2023-08-08 11:04:52 浏览: 60
SVD(Singular Value Decomposition,奇异值分解)是一种常用的矩阵分解方法,可以将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积:$A=U\Sigma V^T$,其中 $U$ 和 $V$ 是正交矩阵,$\Sigma$ 是对角矩阵,对角线上的元素称为奇异值。
双边Jacobi求解SVD是一种经典的SVD求解方法,其基本思想是通过旋转矩阵来逐渐将矩阵对角化,从而得到SVD的三个矩阵。
以下是双边Jacobi求解SVD的步骤:
1. 对于一个 $m\times n$ 的矩阵 $A$,计算 $A^TA$ 和 $AA^T$ 的特征值和特征向量,并将它们按特征值从大到小排序。设 $A^TA$ 的特征值为 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$,对应的特征向量为 $v_1,v_2,\cdots,v_n$,$AA^T$ 的特征值为 $\sigma_1^2,\sigma_2^2,\cdots,\sigma_r^2$,对应的特征向量为 $u_1,u_2,\cdots,u_r$,其中 $r$ 是 $A$ 的秩。
2. 初始化正交矩阵 $U$ 和 $V$,$U=I_m$,$V=I_n$。
3. 对于每个 $\lambda_i$,如果 $\lambda_i\neq\sigma_j^2$,则对应的特征向量 $v_i$ 和 $u_j$ 没有对应关系,不需要进行处理。如果 $\lambda_i=\sigma_j^2$,则要求出 $A$ 的左奇异向量 $u_i$ 和右奇异向量 $v_i$,并将其正交化。
4. 对于第 $i$ 个奇异值,计算 $B_i=U^TAv_i$,$C_i=V^TA^Tu_i$。
5. 对 $B_i$ 和 $C_i$ 进行 Jacobi 旋转,使 $B_i$ 和 $C_i$ 的第 $i$ 个元素都为零。
6. 更新 $U$ 和 $V$,$U=UJ_i$,$V=VH_i$,其中 $J_i$ 和 $H_i$ 分别为左右 Jacobi 旋转矩阵。
7. 重复步骤 4~6,直到所有奇异值和其对应的奇异向量都求出来。
以下是 Matlab 中实现双边Jacobi求解SVD的代码:
```matlab
function [U,S,V] = biJacobiSVD(A)
% 双边Jacobi求解SVD
[m,n] = size(A);
ATA = A' * A;
AAT = A * A';
[V,D] = eig(ATA);
[d,ind] = sort(diag(D),'descend');
V = V(:,ind);
[d,ind] = sort(diag(AAT),'descend');
U = zeros(m,n);
for i = 1:n
sigma = sqrt(d(i));
ui = A * V(:,i) / sigma;
U(:,i) = ui;
for j = 1:i-1
bj = U(:,j)' * A * V(:,i);
cj = V(:,j)' * A' * ui;
[J,H] = Jacobi(bj,cj,j,i);
U = U * J';
V = V * H';
end
end
S = zeros(m,n);
for i = 1:n
S(i,i) = d(i);
end
end
function [J,H] = Jacobi(b,c,p,q)
% Jacobi 旋转矩阵
if b == 0
J = eye(length(b));
else
tau = (c - b) / (2 * b);
t = sign(tau) / (abs(tau) + sqrt(1 + tau^2));
c = 1 / sqrt(1 + t^2);
s = t * c;
J = eye(length(b));
J(p,p) = c;
J(q,q) = c;
J(p,q) = s;
J(q,p) = -s;
end
H = J;
H(p,p) = J(q,q);
H(q,q) = J(p,p);
H(p,q) = J(q,p);
H(q,p) = J(p,q);
end
```
其中,`Jacobi` 函数是实现 Jacobi 旋转矩阵的函数。
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