基于双边Jacobi求解SVD步骤与Matlab算法实现

SVD（奇异值分解）是一种重要的矩阵分解技术，广泛应用于数据分析、信号处理、图像处理等领域。其中，双边Jacobi求解SVD是一种经典的求解方法之一。

下面介绍双边Jacobi求解SVD的步骤及Matlab算法实现。

1. 原始矩阵的SVD分解

对于一个$m\times n$的矩阵$A$，其SVD分解为$A=U\Sigma V^T$，其中$U$和$V$是正交矩阵，$\Sigma$是一个对角矩阵。

2. 计算$A^T A$和$A A^T$

由于$U$和$V$是正交矩阵，因此有$U^TU=I$和$V^TV=I$。将其代入SVD分解公式中，可得$A^TA=V\Sigma^2 V^T$和$AA^T=U\Sigma^2 U^T$。

3. 双边Jacobi旋转

设$A^TA$的特征值分解为$A^TA=Q\Lambda Q^T$，其中$Q$是正交矩阵，$\Lambda$是对角矩阵。则$V=Q$，$U=AQ\Lambda^{-1/2}$。

同理，设$AA^T$的特征值分解为$AA^T=P\Gamma P^T$，其中$P$是正交矩阵，$\Gamma$是对角矩阵。则$U=P$，$V=AP\Gamma^{-1/2}$。

双边Jacobi旋转的目的是通过正交变换将$A^TA$和$AA^T$对角化，从而得到$U$和$V$。

4. 迭代计算

重复进行步骤2和步骤3，直到$U$和$V$收敛为止。

Matlab代码实现：

function [U, S, V] = bidiagonal_jacobi_svd(A, tol, max_iter)
% Bidiagonal Jacobi SVD
[m, n] = size(A);
U = eye(m);
V = eye(n);
S = zeros(min(m,n), 1);
B = A;
for iter = 1:max_iter
    % Step 1: Bidiagonalization
    for j = 1:n
        for k = j+1:m
            [c,s] = givens(B(j,j), B(k,j));
            G = [c -s; s c];
            B([j,k],j:n) = G'*B([j,k],j:n);
            B(:,[j,k]) = B(:,[j,k])*G;
            U([j,k],:) = U([j,k],:)*G';
        end
    end
    for j = 1:min(m,n)
        S(j) = B(j,j);
    end
    % Step 2: SVD of bidiagonal matrix
    for j = 1:n-1
        [c,s] = givens(B(j,j), B(j+1,j));
        G = [c -s; s c];
        B([j,j+1],j:n) = G'*B([j,j+1],j:n);
        B(:,[j,j+1]) = B(:,[j,j+1])*G;
        V([j,j+1],:) = V([j,j+1],:)*G';
    end
    % Step 3: Check convergence
    if norm(diag(B,-1)) < tol
        break;
    end
end

其中，`givens`函数用于计算Givens旋转矩阵，代码如下：

function [c, s] = givens(a, b)
% Compute Givens rotation matrix
if b == 0
    c = 1;
    s = 0;
elseif abs(b) > abs(a)
    t = -a/b;
    s = 1/sqrt(1+t^2);
    c = s*t;
else
    t = -b/a;
    c = 1/sqrt(1+t^2);
    s = c*t;
end
end

使用方法如下：

A = rand(10,5);
[U, S, V] = bidiagonal_jacobi_svd(A, 1e-6, 100);

其中，`A`是待分解的矩阵，`tol`是收敛精度，`max_iter`是最大迭代次数。函数返回值包括左奇异向量矩阵`U`，奇异值向量`S`和右奇异向量矩阵`V`。