双边Jacobi求解svd的Matlab代码和讲解

双边Jacobi求解SVD是一种常用的矩阵分解方法，可以将一个矩阵分解为三个部分：左奇异矩阵、奇异值和右奇异矩阵。下面是Matlab代码和讲解。

代码：

function [U, S, V] = bidiag_jacobi(A, iter)
% Bidiagonalization using Jacobi rotations
% A: input matrix
% iter: number of iterations (default: min(m, n))
% U: left singular vectors
% S: singular values
% V: right singular vectors

if nargin < 2
    iter = min(size(A));
end

[m, n] = size(A);
U = eye(m);
V = eye(n);

for k = 1:iter
    % Bidiagonalization from left to right
    for i = 1:m-1
        [c, s] = givens(A(i,i), A(i+1,i));
        G = [c -s; s c];
        A(i:i+1,:) = G * A(i:i+1,:);
        U(:,i:i+1) = U(:,i:i+1) * G';
    end
    
    % Bidiagonalization from right to left
    for i = 1:n-1
        [c, s] = givens(A(i,i), A(i,i+1));
        G = [c -s; s c];
        A(:,i:i+1) = A(:,i:i+1) * G;
        V(:,i:i+1) = V(:,i:i+1) * G';
    end
end

S = diag(A);

讲解：

该代码实现了双边Jacobi求解SVD的过程，其中`A`是输入的矩阵，`iter`是迭代次数（默认为$m$和$n$中的较小值），`U`、`S`和`V`分别是左奇异矩阵、奇异值和右奇异矩阵。

在代码中，我们采用了两次Jacobi旋转来实现双边Bidiagonalization。其中，第一个循环从左到右对矩阵进行了Bidiagonalization，第二个循环从右到左对矩阵进行了Bidiagonalization。在每次循环中，我们使用Givens旋转将矩阵中的非对角元素置为零，同时更新左奇异矩阵和右奇异矩阵。最终，奇异值存储在对角线上的矩阵中。

这个算法的时间复杂度为$O(m^2n + mn^2)$，因此适用于小型矩阵。对于大型矩阵，我们可以使用更高效的算法，如随机化SVD或分块SVD。