用Matlab实现双边Jacobi方法求解任意矩阵的SVD的代码讲解

SVD（Singular Value Decomposition）是一种常用的矩阵分解方法，可以将任意矩阵分解为三个部分：左奇异矩阵、奇异值矩阵和右奇异矩阵。其中，左奇异矩阵和右奇异矩阵是正交矩阵，而奇异值矩阵是对角矩阵，对角线上的元素为奇异值。

双边Jacobi方法是一种求解任意矩阵的SVD的方法，其思路是通过不断地进行正交相似变换，使得矩阵越来越接近对角矩阵。在每次正交相似变换中，我们可以选择某一对非对角元素进行消元，以此来逐步逼近对角矩阵。这种方法的优点是能够处理任意矩阵，但缺点是收敛速度较慢。

下面是用Matlab实现双边Jacobi方法求解任意矩阵的SVD的代码及其讲解：

function [U,S,V] = bidiag_SVD(A,tol,max_iter)
% 双边Jacobi方法求任意矩阵的SVD
% 输入参数：A为任意矩阵，tol为收敛精度，max_iter为最大迭代次数
% 输出参数：U为左奇异矩阵，S为奇异值矩阵，V为右奇异矩阵

[m,n] = size(A);
U = eye(m);
V = eye(n);

% 初始化B为A的上Hessenberg矩阵
B = hess(A);

% 迭代求解
iter = 0;
while(iter < max_iter)
    % 正向消元，将B化为上双三角矩阵
    for j = 1:n-1
        for i = m:-1:j+1
            [c,s] = planerot(B(i-1,j:j+1));
            B(i-1:i,j:j+1) = [c s;-s' c'] * B(i-1:i,j:j+1);
            U(:,i-1:i) = U(:,i-1:i) * [c s;-s' c'];
        end
    end
    
    % 反向消元，将B化为对角矩阵
    for j = n:-1:2
        for i = j+1:m
            [c,s] = planerot(B(i-1:i,j-1:j));
            B(i-1:i,j-1:j) = [c s;-s' c'] * B(i-1:i,j-1:j);
            V(:,i-1:i) = V(:,i-1:i) * [c s;-s' c'];
        end
    end
    
    % 判断是否收敛
    if(norm(B(n+1:end,:),'fro') < tol)
        break;
    end
    
    iter = iter + 1;
end

% 提取奇异值矩阵
S = diag(B);

end


% 上Hessenberg矩阵化
function H = hess(A)
[m,n] = size(A);
H = A;
for k = 1:n-2
    v = H(k+1:m,k);
    H(k+1:m,k:n) = H(k+1:m,k:n) - 2*v*(v'*H(k+1:m,k:n))/(v'*v);
    H(1:m,k+1:m) = H(1:m,k+1:m) - 2*(H(1:m,k+1:m)*v)*v'/(v'*v);
end
end


% Plane rotation计算
function [c,s] = planerot(x)
if x(2) == 0
    c = 1;
    s = 0;
else
    if abs(x(2)) > abs(x(1))
        t = -x(1)/x(2);
        s = 1/sqrt(1+t^2);
        c = s*t;
    else
        t = -x(2)/x(1);
        c = 1/sqrt(1+t^2);
        s = c*t;
    end
end
end

上面的代码中，函数`bidiag_SVD`实现了双边Jacobi方法求解任意矩阵的SVD。在函数中，我们首先将输入矩阵A转化为上Hessenberg矩阵B，然后进行正向消元和反向消元，最终得到上双三角矩阵，从而可以提取出对角线上的元素作为奇异值矩阵。值得注意的是，为了方便计算左右奇异矩阵，我们在正向消元和反向消元的过程中，也对左右奇异矩阵进行了相应的正交相似变换。

函数`hess`实现了将任意矩阵A转化为上Hessenberg矩阵的过程，这个过程可以通过多次施加Householder矩阵实现。

函数`planerot`实现了Plane rotation的计算，这个函数在双边Jacobi方法中用来计算正交相似变换中的旋转矩阵。