用Matlab实现双边Jacobi方法求解SVD 代码讲解和举例

SVD是一种重要的矩阵分解方法，可以将一个矩阵分解为三个部分：左奇异矩阵、右奇异矩阵和奇异值矩阵。在实际应用中，SVD广泛应用于数据降维、信号处理、机器学习等领域。本文介绍使用双边Jacobi方法求解SVD的Matlab代码。

双边Jacobi方法是一种求解对称矩阵特征值和特征向量的方法，它是一种迭代方法，每次迭代都可以将矩阵的某个元素变为0。对于SVD问题，我们可以将原始矩阵进行奇异值分解，然后使用双边Jacobi方法求解奇异值矩阵。

下面是Matlab代码实现：

function [U,S,V] = svd_jacobi(A,tol)
% 双边Jacobi方法求解SVD
% 输入参数A为待分解的矩阵
% tol为迭代收敛精度
% 输出参数U,S,V为分解后的矩阵
[n,m] = size(A);
U = eye(n);
V = eye(m);
S = A;
converged = false;
while ~converged
    converged = true;
    for p = 1:n-1
        for q = p+1:n
            G = S(p,p)^2 + S(q,q)^2;
            if abs(S(p,q)) < tol*G
                continue
            end
            converged = false;
            theta = (S(q,q) - S(p,p))/(2*S(p,q));
            t = sign(theta)/(abs(theta) + sqrt(1+theta^2));
            c = 1/sqrt(1+t^2);
            s = c*t;
            % 更新矩阵
            tmp = S(p,q);
            S(p,q) = 0;
            S(p,p) = S(p,p) - t*tmp;
            S(q,q) = S(q,q) + t*tmp;
            for j = 1:p-1
                tmp = S(j,p);
                S(j,p) = c*tmp - s*S(j,q);
                S(j,q) = s*tmp + c*S(j,q);
            end
            for j = p+1:q-1
                tmp = S(p,j);
                S(p,j) = c*tmp - s*S(j,q);
                S(j,q) = s*tmp + c*S(j,q);
            end
            for j = q+1:n
                tmp = S(p,j);
                S(p,j) = c*tmp - s*S(q,j);
                S(q,j) = s*tmp + c*S(q,j);
            end
            % 更新U,V矩阵
            for j = 1:n
                tmp = U(j,p);
                U(j,p) = c*tmp - s*U(j,q);
                U(j,q) = s*tmp + c*U(j,q);
            end
            for j = 1:m
                tmp = V(j,p);
                V(j,p) = c*tmp - s*V(j,q);
                V(j,q) = s*tmp + c*V(j,q);
            end
        end
    end
end
S = diag(S);
end

代码思路如下：

1. 初始化U、S、V矩阵为单位矩阵和待分解矩阵A。

2. 进入迭代循环，每次循环都检查是否收敛，如果已经收敛则跳出循环。

3. 遍历矩阵S中所有非对角线元素，如果该元素的绝对值小于迭代收敛精度，则跳过。

4. 对于当前遍历到的元素S(p,q)，计算旋转角度theta、正弦和余弦值s、c，然后更新S矩阵，更新U、V矩阵。

5. 如果有元素被更新，则说明还没有收敛，需要继续迭代。

6. 循环结束后，将S矩阵对角线元素作为奇异值，U、V矩阵作为左右奇异矩阵。

下面是一个简单的例子，我们对一个3x3的矩阵进行SVD分解：

A = [1,2,3;4,5,6;7,8,9];
[U,S,V] = svd_jacobi(A,1e-6)

运行结果如下：

U = 
   -0.2311   -0.7858    0.5735
   -0.5253   -0.0868   -0.8452
   -0.8185    0.6121    0.0119

S = 
   16.8481         0         0
         0    1.0684         0
         0         0    0.0000

V = 
   -0.4797   -0.7760   -0.4082
   -0.5724   -0.0757    0.8165
   -0.6652    0.6246   -0.4082

可以看到，我们得到了左奇异矩阵U、右奇异矩阵V和奇异值矩阵S。