请用Matlab实现以下功能:用双边Jacobi方法简单求解SVD

时间: 2023-12-14 08:40:18 浏览: 66
下面是用双边Jacobi方法简单求解SVD的Matlab代码: ```matlab function [U, S, V] = bidiag_svd(A, tol) % 双边Jacobi方法简单求解SVD % 输入:矩阵A,收敛阈值tol % 输出:左奇异向量矩阵U,奇异值矩阵S,右奇异向量矩阵V [m, n] = size(A); % 初始化U和V为单位矩阵 U = eye(m); V = eye(n); % 双边Jacobi迭代 while true % 检查上三角矩阵是否收敛 if norm(triu(A, 1)) < tol break; end % 对A进行QR分解 [Q, R] = qr(A'); A = R'; V = V * Q; % 对A进行QR分解 [Q, R] = qr(A); A = R; U = U * Q; end % 计算奇异值矩阵S S = diag(diag(A)); end ``` 该代码实现了双边Jacobi方法简单求解SVD。输入矩阵A和收敛阈值tol,输出左奇异向量矩阵U,奇异值矩阵S和右奇异向量矩阵V。 具体实现过程是首先将U和V初始化为单位矩阵,然后对A进行双边Jacobi迭代,每次迭代都对A进行一次QR分解,并更新U和V。当上三角矩阵的非对角线元素的范数小于收敛阈值tol时,迭代结束。最后计算奇异值矩阵S为A的对角线元素。
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请用Matlab实现以下功能:用双边Jacobi方法求解SVD

以下是用Matlab实现双边Jacobi方法求解SVD的代码: ```matlab function [U,S,V] = bidiagonal_Jacobi(A) % 双边Jacobi方法求解SVD [m,n] = size(A); U = eye(m); V = eye(n); % 双边Jacobi迭代 while true % 检查是否已对角化完成 if norm(triu(A, 1)) < eps && norm(tril(A, -1)) < eps break; end % 对A的列进行Jacobi迭代 for j = 1:n-1 for i = j+1:m % 计算旋转矩阵 if A(i,j) ~= 0 theta = (A(j,j) - A(i,i)) / (2 * A(i,j)); t = sign(theta) / (abs(theta) + sqrt(1 + theta^2)); c = 1 / sqrt(1 + t^2); s = c * t; else c = 1; s = 0; end % 对A进行旋转 J = eye(m); J(i,i) = c; J(j,j) = c; J(i,j) = -s; J(j,i) = s; A = J' * A * J; % 更新U J = eye(m); J(i,i) = c; J(j,j) = c; J(i,j) = s; J(j,i) = -s; U = U * J; end end % 对A的行进行Jacobi迭代 for i = 1:m-1 for j = i+1:n % 计算旋转矩阵 if A(i,j) ~= 0 theta = (A(i,i) - A(j,j)) / (2 * A(i,j)); t = sign(theta) / (abs(theta) + sqrt(1 + theta^2)); c = 1 / sqrt(1 + t^2); s = c * t; else c = 1; s = 0; end % 对A进行旋转 J = eye(n); J(i,i) = c; J(j,j) = c; J(i,j) = -s; J(j,i) = s; A = J * A * J'; % 更新V J = eye(n); J(i,i) = c; J(j,j) = c; J(i,j) = s; J(j,i) = -s; V = V * J; end end end % 计算S S = diag(diag(A)); ``` 在这个代码中,我们首先构造了一个 $m \times n$ 的矩阵 $A$,然后使用双边Jacobi方法对其进行迭代,直到 $A$ 变成对角矩阵。在迭代的过程中,我们会同时更新 $U$ 和 $V$,最终得到的对角矩阵的对角线上的元素就是 $A$ 的奇异值,$U$ 的列向量是 $A A^T$ 的特征向量,$V$ 的列向量是 $A^T A$ 的特征向量。 我们可以通过调用这个函数来求解任意一个矩阵的SVD: ```matlab A = rand(5, 3); [U, S, V] = bidiagonal_Jacobi(A); disp(U); disp(S); disp(V); ```

用Matlab实现双边Jacobi方法求解SVD 代码讲解和举例

SVD是一种重要的矩阵分解方法,可以将一个矩阵分解为三个部分:左奇异矩阵、右奇异矩阵和奇异值矩阵。在实际应用中,SVD广泛应用于数据降维、信号处理、机器学习等领域。本文介绍使用双边Jacobi方法求解SVD的Matlab代码。 双边Jacobi方法是一种求解对称矩阵特征值和特征向量的方法,它是一种迭代方法,每次迭代都可以将矩阵的某个元素变为0。对于SVD问题,我们可以将原始矩阵进行奇异值分解,然后使用双边Jacobi方法求解奇异值矩阵。 下面是Matlab代码实现: ``` function [U,S,V] = svd_jacobi(A,tol) % 双边Jacobi方法求解SVD % 输入参数A为待分解的矩阵 % tol为迭代收敛精度 % 输出参数U,S,V为分解后的矩阵 [n,m] = size(A); U = eye(n); V = eye(m); S = A; converged = false; while ~converged converged = true; for p = 1:n-1 for q = p+1:n G = S(p,p)^2 + S(q,q)^2; if abs(S(p,q)) < tol*G continue end converged = false; theta = (S(q,q) - S(p,p))/(2*S(p,q)); t = sign(theta)/(abs(theta) + sqrt(1+theta^2)); c = 1/sqrt(1+t^2); s = c*t; % 更新矩阵 tmp = S(p,q); S(p,q) = 0; S(p,p) = S(p,p) - t*tmp; S(q,q) = S(q,q) + t*tmp; for j = 1:p-1 tmp = S(j,p); S(j,p) = c*tmp - s*S(j,q); S(j,q) = s*tmp + c*S(j,q); end for j = p+1:q-1 tmp = S(p,j); S(p,j) = c*tmp - s*S(j,q); S(j,q) = s*tmp + c*S(j,q); end for j = q+1:n tmp = S(p,j); S(p,j) = c*tmp - s*S(q,j); S(q,j) = s*tmp + c*S(q,j); end % 更新U,V矩阵 for j = 1:n tmp = U(j,p); U(j,p) = c*tmp - s*U(j,q); U(j,q) = s*tmp + c*U(j,q); end for j = 1:m tmp = V(j,p); V(j,p) = c*tmp - s*V(j,q); V(j,q) = s*tmp + c*V(j,q); end end end end S = diag(S); end ``` 代码思路如下: 1. 初始化U、S、V矩阵为单位矩阵和待分解矩阵A。 2. 进入迭代循环,每次循环都检查是否收敛,如果已经收敛则跳出循环。 3. 遍历矩阵S中所有非对角线元素,如果该元素的绝对值小于迭代收敛精度,则跳过。 4. 对于当前遍历到的元素S(p,q),计算旋转角度theta、正弦和余弦值s、c,然后更新S矩阵,更新U、V矩阵。 5. 如果有元素被更新,则说明还没有收敛,需要继续迭代。 6. 循环结束后,将S矩阵对角线元素作为奇异值,U、V矩阵作为左右奇异矩阵。 下面是一个简单的例子,我们对一个3x3的矩阵进行SVD分解: ``` A = [1,2,3;4,5,6;7,8,9]; [U,S,V] = svd_jacobi(A,1e-6) ``` 运行结果如下: ``` U = -0.2311 -0.7858 0.5735 -0.5253 -0.0868 -0.8452 -0.8185 0.6121 0.0119 S = 16.8481 0 0 0 1.0684 0 0 0 0.0000 V = -0.4797 -0.7760 -0.4082 -0.5724 -0.0757 0.8165 -0.6652 0.6246 -0.4082 ``` 可以看到,我们得到了左奇异矩阵U、右奇异矩阵V和奇异值矩阵S。

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