斯坦福机器学习课：单变量线性回归模型解析

"斯坦福大学机器学习课程讲义第二讲主要涵盖了单变量的线性回归模型表达，由著名学者Andrew Ng讲解。课程关注的是通过监督学习解决回归问题，特别是预测连续数值型输出的情况，如本例中的房屋价格预测。" 在机器学习中，线性回归是一种基本且重要的算法，它被广泛应用于预测分析和建模。在这个场景中，我们有来自波特兰（OR）的住房价格数据，其中"Size in feet2"（房屋面积）是输入变量（或特征），"Price ($)"（价格，以千美元计）是输出变量（或目标变量）。数据集包含了多个训练样本，每一对 `(x, y)` 组成一个训练样本，其中 `x` 是房屋的面积，`y` 是对应的价格。 Andrew Ng提出的线性回归模型用数学公式表示为： \[ h_\theta(x) = \theta_0 + \theta_1x \] 这里，\( h_\theta(x) \) 是预测的房价，\( \theta_0 \) 是截距项，\( \theta_1 \) 是斜率，\( x \) 是输入变量（房屋面积）。线性回归的目标是找到最佳的 \( \theta_0 \) 和 \( \theta_1 \) 参数，使得模型预测的价格与实际价格最接近。 为了找到最佳参数，我们需要定义一个损失函数，也称为成本函数（Cost Function），通常使用均方误差（Mean Squared Error，MSE）来衡量预测值与真实值之间的差距。损失函数可以表示为： \[ J(\theta_0, \theta_1) = \frac{1}{2m} \sum_{i=1}^{m}(h_\theta(x^{(i)}) - y^{(i)})^2 \] 其中，\( m \) 是训练样本的数量，\( (x^{(i)}, y^{(i)}) \) 表示第 \( i \) 个训练样本，\( h_\theta(x^{(i)}) \) 是模型对第 \( i \) 个样本的预测，\( y^{(i)} \) 是第 \( i \) 个样本的真实价格。 最小化这个损失函数可以使用梯度下降法，通过迭代更新 \( \theta_0 \) 和 \( \theta_1 \)，使得损失函数持续减小，直到达到全局最优或者局部最优解。更新公式如下： \[ \theta_j := \theta_j - \alpha\frac{\partial}{\partial\theta_j}J(\theta_0, \theta_1) \] 这里的 \( \alpha \) 是学习率，控制每次迭代时参数更新的步长。 通过这个过程，我们可以得到一个能够根据房屋面积预测价格的模型。在实际应用中，线性回归模型简单、易于理解和实现，但在处理非线性关系或存在多重共线性特征的数据时可能效果不佳。在这种情况下，可能会采用更复杂的模型，如多项式回归或多变量线性回归，或者考虑使用其他类型的机器学习方法。