无穷级代数体函数的Borel点研究

"这篇论文发表于2009年5月的华南师范大学学报(自然科学版)，由刘慧芳和孙道椿共同撰写，得到了国家自然科学基金和高等学校博士学科点专项科研基金的支持。文章探讨了单位圆内无穷级代数体函数的Borel点，并将半纯函数的聚值线判定定理应用到这一领域。" 正文: 这篇论文主要涉及的是复分析中的一个特定主题，即无穷级代数体函数的Borel点。在复分析中，Borel点是指那些使得函数在其上可展为幂级数的点。在复平面上，对于半纯函数（holomorphic function），已有许多关于聚值点（cluster point）的研究，但对单位圆内的代数体函数的Borel点的理解仍不完全。 作者首先定义了单位圆内无穷级代数体函数的Borel点，这些函数是由方程（1）定义的，其中包含了一系列在单位圆内解析的系数函数Av(z)。这些系数函数没有公共零点，而ω(z)是由此产生的v值代数体函数。函数ω(z)的定义域是一个Riemann曲面，这个曲面是z平面的v叶覆盖。 文章的核心贡献在于将李国平关于复平面上无穷级半纯函数的聚值线判定定理扩展到单位圆内的无穷级代数体函数。聚值线是函数值聚集的点，对于理解函数的行为至关重要。通过引入指标n(r,a)来计算函数ω(z)与某常数a之间的零点个数，以及利用S(r,ω)这个积分表达式，作者能够对Borel点进行更深入的分析。 具体来说，n(r,a)计数了在圆盘|z|<r内，函数ω(z)减去a的零点数，而S(r,ω)则提供了一个关于函数性质的度量。通过研究这两个量随半径r的变化，可以判断函数在特定点是否具有Borel点性质。 论文中可能涉及的技术包括Riemann曲面理论、复分析中的零点理论以及级的概念。级是衡量函数复杂性的度量，对于无穷级函数，其行为通常更为复杂。作者的工作旨在提供一种方法来确定这类函数在单位圆内的Borel点，这对于理解和操作这些函数具有重要的理论意义。 这篇论文为无穷级代数体函数的理论研究提供了新的洞察，尤其是关于它们在单位圆内的行为。这不仅深化了我们对复分析的理解，也为未来在这个领域的进一步研究奠定了基础。