辅助变量法是系统辨识与建模中一种重要的方法,它是在最小二乘法的基础上进行参数估计的一种扩展。最小二乘法通常用于处理线性模型中的参数估计问题,通过寻找使观测误差平方和最小的参数估计。然而,当观测数据中存在干扰或噪声,如白色噪声w(k),直接应用最小二乘法可能会导致估计结果有偏。
辅助变量法的关键在于引入新的变量来构建一个或多个辅助模型,使得新模型的残差项满足期望值为零,并且新模型与原模型之间的矩阵关系是可逆的。这样可以确保参数估计的无偏性。具体步骤如下:
1. 辅助模型的选择:
- a 如果输入信号u(k)与噪声项 (k)不相关,可以选择一个辅助模型D( )z(k)=F( )u(k),通过这个模型将输入信号u(k)转换为新的辅助变量z(k),并以此为基础构建矩阵Ψ。
- b 如果系统的纯时延τ已知,可以直接利用u(k-τ)和u(k)组合来构造矩阵Ψ,这样可以更好地捕捉到系统的动态特性。
- c 另外,简单地选择u(k)和u(k)的组合也可以作为辅助变量。
- d 如果存在一个先验知识,比如D( )的阶次n已知,可以通过y(k-n)和u(k)来构建矩阵Ψ,这有助于减少噪声的影响。
- e 首先计算最小二乘解θLS,然后根据已知的辅助模型,例如z(k)=D( )w(k),计算输出估计z(k),再次利用z(k)和u(k)构造矩阵Ψ。
2. 最小二乘估计的扩展:
- 在辅助变量法中,不仅使用了原始观测数据的序列,还引入了额外的变量,这在处理非线性模型或者存在噪声的情况下尤为有效。通过这种方法,可以在一定程度上消除噪声对参数估计的干扰。
- 这种方法可以应用于多步最小二乘、相关最小二乘等更复杂的估计技术中,使得估计更为精确。
3. 参数估计的性质:
- 辅助变量法保证了参数估计的无偏性,即θLS=(ΦTΦ)-1ΦTYN,这里的矩阵运算满足特定的条件,如期望值为零和矩阵可逆,从而避免了最小二乘估计可能存在的偏移问题。
4. 应用场景:
- 辅助变量法广泛应用于控制系统设计、信号处理、系统识别、预测和控制等领域,尤其在实际工程中,当数据质量不高或系统复杂时,辅助变量的选择至关重要。
辅助变量法作为一种有效的系统辨识与建模工具,通过引入适当的辅助变量,能够提高估计的精度和鲁棒性,对于处理实际工程中的复杂系统模型具有重要意义。