图的定义与存储结构：数据结构第5章精讲

"数据结构导论中第5章 图课件" 在数据结构的学习中，图是一种非常重要的抽象数据类型，它用于表示各种实体之间的关系。第5章的内容主要涵盖了图的基本概念、存储结构、遍历方法以及两个特定的应用——最小生成树和拓扑排序。 首先，图的定义是基于顶点（Vertex）和边（Edge）的集合。图的形式表示为Graph=(V,E)，其中V代表顶点集，E代表边集。顶点可以标记不同的字符或数字，边则是连接两个顶点的关系。根据边的方向，图可以分为有向图和无向图。在有向图中，边具有方向性，如<v,w>表示从顶点v到顶点w的弧；而在无向图中，边没有方向，通常用(v,w)表示两个顶点间的边。 图的存储结构主要有两种常见方式：邻接矩阵和邻接表。邻接矩阵是一个二维数组，用于表示图中任意两个顶点之间是否存在边，适用于表示稠密图（边的数量接近于顶点数量的平方）。而邻接表则更适合稀疏图，它为每个顶点维护一个链表，记录与其相邻的顶点。 图的遍历主要包括深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）。DFS通过递归或栈来访问所有可达的顶点，而BFS则利用队列进行层次遍历。这两种方法在解决许多图问题时都起着关键作用，如寻找最短路径、判断连通性等。 最小生成树（Minimum Spanning Tree, MST）是图理论中的一个重要概念，用于找到一个无向图的边集，使得这些边连接了所有的顶点，并且边的总权重尽可能小。常见的算法有Prim算法和Kruskal算法。 拓扑排序（Topological Sorting）是针对有向无环图（DAG）的一种排序方法，它可以将图中的所有顶点排成线性序列，满足对于图中每一条有向边<u, v>，顶点u在序列中都出现在顶点v之前。常见的算法包括Kahn算法和拓扑排序的变种。 在实际应用中，带权的图（有向网或无向网）常常用来表示资源分配、交通网络等问题。子图是原图的一部分，包含原图的部分顶点和边。顶点的度（Degree）表示与该顶点相连的边数，有向图中还区分出度和入度，它们的和即为顶点的总度。 完全图是指每个顶点与其他所有顶点都有边相连的图，无向完全图的边数为n(n-1)/2，有向完全图的弧数为n(n-1)。如果边或弧的数量少于这个数量，那么图就不是完全图。 理解并掌握这些基本概念和算法对于深入学习图论和解决实际问题至关重要，无论是网络设计、数据库查询优化还是人工智能领域，图论都有着广泛的应用。