傅立叶变换：线性时不变系统频率分析与MATLAB实现

傅立叶变换是信号与系统理论中的核心概念，它在时域与频域分析中发挥着关键作用，特别是在电子工程、通信和信号处理等领域。实验三——线性时不变系统的时域分析，主要聚焦于理解如何运用傅立叶变换来解析连续时间（CT）信号的频域特性，以及系统对不同频率输入的响应。 1. **傅立叶变换**： 傅立叶变换是一种数学工具，将一个时间域的信号转换成频率域的表示。它是通过对信号进行积分，将其分解为一系列正弦和余弦函数的幅度和相位，从而揭示信号的周期性和频率成分。对于实信号，傅立叶变换的结果通常是一个复数函数，其幅度部分表示了各个频率成分的强度，相位部分反映了信号的相位信息。如果信号满足可积条件（即信号在整个时间区间上绝对可积），则傅立叶变换有确定的意义。 2. **系统的频率响应**： 在信号与系统分析中，系统的频率响应是指系统对输入信号各频率分量的放大或衰减程度。通过计算系统的傅立叶变换，可以了解系统在不同频率上的行为，这对于设计和分析滤波器、滤波网络等至关重要的。 3. **低通滤波器**： 低通滤波器是允许低频率信号通过而阻止高频率信号的设备或函数。在傅立叶变换的背景下，低通滤波器的频率响应通常在高频段衰减得非常快，只允许近似为零频率（直流）的信号通过。在实验中，通过设计和分析这样的滤波器，可以控制信号的带宽和通带内的精确响应。 MATLAB在傅立叶变换操作中提供了强大的支持。`fourier()`函数用于计算信号的傅立叶变换，`ifourier()`则用于求逆变换。这两个函数接收符号函数作为输入，并返回关于频率（`ω`或`v`）或时间（`t`或`u`）的符号表达式。使用`sym()`函数先对变量进行声明，以确保正确的符号计算。需要注意的是，返回的函数可能含有复杂的表达式，特别是对于含有冲激函数的信号，可能需要借助`ezplot()`函数来绘制，而非`plot()`函数，因为后者无法处理符号表达式。 在实际操作中，如例1所示，通过`exp(-2*t)*Heaviside(t)`这个单边指数信号的傅立叶变换，可以观察到其在频率域的表现。这有助于理解信号在经过傅立叶变换后的特性，进而分析系统的动态行为和性能。 傅立叶变换实验三强调了在实际问题中应用数学工具进行信号处理的能力，帮助学生深入理解信号的频域特性，以及如何通过系统设计来优化信号传输和处理。