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微积分导论:集合与映射,数列极限及连续函数
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更新于2023-11-24
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数学分析是微积分的核心内容,经历了三个发展阶段。本书试图展现微积分发展各阶段的重要成果,并结合现代数学的思想方法和观点处理经典的分析问题。第一章介绍了集合与映射的基本概念,包括数的集合、映射与函数等内容。第二章则讨论了极限数列的相关概念和性质,包括数列极限的定义、基本性质,以及单调数列的极限等内容。第三章则研究了连续函数,介绍了连续函数的性质。此外,附录中还介绍了实数系的构造,以及实数的基本性质。与传统教材不同的是,本书在介绍连续函数的积中已经加入了相关内容。整体而言,本书着重展示了微积分发展各阶段的重要成果,并结合现代数学方法处理经典的分析问题。
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§1.2 数的集合 7
因此 q 也是偶数, p, q 就有 2 这个公共因子, 这和我们的假设相矛盾. 另一个证明:
如果 p
2
“ 2q
2
, p, q 为正整数, 且设 q 是满足这一等式的最小整数, 显然 q ą 1, 且
q ă p ă 2q. 此时有
p2q ´pq
2
“ 2pp ´ qq
2
,
但 p ´ q 是小于 q 的正整数, 这与 q 的选取相矛盾.
我们把象 l “
?
2 这样不能用有理点表示的数称为无理数. 无理数的另一自然
的例子是圆周率 π, 几何上看圆周率就是圆周的周长和其直径之比. π 的无理性的
证明就没那么初等了 (见本书第七章).
有理数和无理数统称实数. 实数的理论直到 19 世纪才被严格建立起来, 主要的
贡献者是 Dedekind 等. Dedekind 使用了现在被称为 Dedekind 分割的一种方法从
有理数出发构造实数系, 并且构造出来的数系是完备的, 它们仍然满足有理数的运
算法则, 直线 L 上的点和实数系之间有着一一对应. 我们不打算在此讲述 Dedekind
的构造 (见本章附录). 除了 Dedekind 分割理论以外, Cantor 的实数模型也值得一
提. 这也就是大家所熟悉的实数的小数表示理论, 在这种理论中, 有限小数或无限循
环小数表示有理数, 而无限不循环小数表示无理数. 我们也不去探讨严格的 Cantor
理论, 不过, 第二章第一节和第八章第二节中关于无限小数的例子可供读者参考.
实数的全体组成的集合用 R 表示. 设 a ă b 为实数, 记
ra, bs “ tx P R |a ď x ď bu,
称为以 a, b 为端点的闭区间; 记
pa, bq “ tx P R |a ă x ă bu,
称为以 a, b 为端点的开区间; 可以类似地定义 ra, bq, pa, bs (半开半闭区间), 和无限
区间
ra, `8q “ tx P R |x ě au, pa, `8q “ tx P R |x ą au,
以及
p´8, bs “ tx P R |x ď bu, p´8, bq “ tx P R |x ă bu,
等等, 统称为区间. 区间可以这样刻画: I 为区间当且仅当任取 a ă b P I, 必有
ra, bs Ă I.
设 A 为 R 的子集 (称为数集). 如果存在 M P A, 使得对任意的 x P A, 均有
x ď M , 则称 M 为 A 的最大数, 记为 M “ max A; 如果存在 m P A, 使得对任意的
x P A, 均有 x ě m, 则称 m 为 A 的最小数, 记为 m “ min A. 当 A 为非空有限数
集时, A 的最大数和最小数都存在且分别为 A 的有限个元素中的最大者和最小者.
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8 第一章 集合与映射
例 1.2.1. 设 a, b P R, 则
maxta, bu “
1
2
ra ` b ` |a ´ b|s, minta, bu “
1
2
ra ` b ´ |a ´ b|s.
证明. 不妨设 a ě b, 则 maxta, bu “ a, minta, bu “ b, 此时有
1
2
ra ` b ` |a ´ b|s “
1
2
ra ` b ` a ´ bs “ a,
同理有
1
2
ra ` b ´ |a ´ b|s “
1
2
ra ` b ´ pa ´ bqs “ b,
因此欲证等式成立.
如果 A 为无限集, 则其最大值或最小值可能不存在, 例如 A “ p0, 1q 就是例子.
为此我们引入极为重要的确界的概念. 设 A 为一个非空数集. 如果存在 M P R, 使
得对任意的 x P A, 均有 x ď M , 则称 A 有上界, M 是 A 的一个上界; 如果存在
m P R, 使得对任意的 x P A, 均有 x ě m, 则称 A 有下界, m 是 A 的一个下界; 如
果 A 既有上界又有下界, 则称为有界集. 显然, A 是有界集当且仅当存在 M , 使得
对任何 x P A, 均有 |x| ď M .
例 1.2.2. p´8, 0q 有上界, 0 为一个上界; p1, `8q 有下界, 1 为一个下界; p0, 1q
为有界集.
需要注意的是, 有上 (下) 界的数集, 它的上 (下) 界不是惟一的. 例如, 如果 M
为 A 的上界, 则对任意 ε ą 0, M ` ε 均为 A 的上界. 不过, 我们有下面重要的结
果.
定理 1.2.1 (确界原理). 如果非空数集 A 有上界, 则它有一个最小上界, 称为
A 的上确界, 记为 sup A; 如果 A 有下界, 则它有一个最大下界, 称为 A 的下确界,
记为 inf A.
例 1.2.3. 求集合 A “ t
1
n
|n “ 1, 2, ¨¨¨u 的上确界和下确界.
解. 容易看出, 1 是 A 中的最大数. 由于
1
n
ą 0, @ n ě 1, 故 0 是 A 的一个下
界. 我们来说明 0 就是 A 的下确界. 为此, 只要说明任何一个正实数均不是 A 的
下界即可. 设 ε 为任意给定的一个正实数, 取
N “ r
1
ε
s ` 1,
其中 rxs 表示不超过 x 的最大整数. 此时
N ą
1
ε
, 即
1
N
ă ε,
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§1.2 数的集合 9
这说明 ε 不是 A 的下界.
确界原理是实数系的基本性质, 我们在此只承认它 (参见本章最后一节), 在下
一章最后一节我们会证明确界原理和另外几条实数基本定理的等价性. 下面讨论
一下上确界和下确界的简单性质.
我们约定, 如果数集 A 没有上界, 则记 sup A “ `8; 如果 A 没有下界, 则记
inf A “ ´8. 显然, 如果 A 有最大数, 则最大数就是它的上确界; 如果 A 有最小数,
则最小数就是它的下确界. 按照定义, 我们还有:
p1q 设 A 有上确界 M , 则对任意的 x P A, 均有 x ď M ; 任给正数 ε, 由于 M ´ε
不是 A 的上界, 因此存在 x
1
P A, 使得 x
1
ą M ´ ε.
p2q 设 A 有下确界 m, 则对任意的 x P A, 均有 x ě m; 任给正数 ε, 由于 m `ε
不是 A 的下界, 因此存在 x
1
P A, 使得 x
1
ă m ` ε.
p3q 设 A 有上确界, 则 ´A “ t´x |x P Au 有下确界, 且 inf p´Aq “ ´sup A; 设
A 有下确界, 则 ´A “ t´x |x P Au 有上确界, 且 sup p´Aq “ ´inf A.
对于有界数集, 我们还有
命题 1.2.2. 设 A, B 为非空有界数集, 则
infpA ` Bq “ inf A ` inf B; suppA `Bq “ sup A ` sup B.
其中 A `B “ tx `y |x P A, y P Bu.
证明. 以上确界为例. 任取 x P A, y P B, 则 x ď sup A, y ď sup B, 于是
x `y ď sup A ` sup B.
因此 sup A `sup B 是数集 A `B 的一个上界. 另一方面, 设 M 是 A `B 的另一
上界. 任给 ε ą 0, 存在 x
1
P A, y
1
P B, 使得
x
1
ą sup A ´ ε, y
1
ą sup B ´ ε,
即
x
1
` y
1
ą sup A ` sup B ´ 2ε.
由于 M 为 A ` B 的上界, 因此上式表明
M ą sup A ` sup B ´ 2ε.
根据 ε 的任意性即知 M ě sup A `sup B, 因此 sup A `sup B 是 A ` B 的最小上
界.
注. 上面最后一句话的严格证明是这样的: 如果 M ă sup A ` sup B, 则取
ε “
1
2
psup A ` sup B ´ Mq ą 0
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10 第一章 集合与映射
导入不等式就得到了矛盾.
最后, 我们提一下本书中常用的初等等式和不等式. 下面的 Newton 二项式展
开在下文中常常用到 (n 为正整数):
pa `bq
n
“
n
ÿ
k“0
C
k
n
a
k
b
n´k
, @ a, b P R.
常用不等式中, 一个是三角不等式, 即
|a `b| ď |a| ` |b|, @ a, b P R, 或 |x ´ y| ď |x ´ z| ` |z ´ y|, @ x, y, z P R.
另一个是 Cauchy 不等式, 即
ab ď
a
2
` b
2
2
, @ a, b P R, 或 ab ď p
a `b
2
q
2
, @ a, b P R.
习题 1.2
1. 设 n 为正整数, 如果 n 不是完全平方数, 则
?
n 不是有理数.
2. 证明
?
2 `
?
3 是无理数; 更一般地, 对任意正整数 n, 证明
?
n `
?
n ` 1 都是
无理数.
3. 对任意正整数 n, 证明
?
n ` 1 `
?
n ´ 1 都是无理数.
4. 说明任意两个不同的有理点之间一定存在其它的有理点, 并由此说明有理数不
能按从小到大的顺序排成一列.
5. 证明, 如果一个数集存在最大数, 则最大数是惟一的; 最小数也一样.
6. 证明, 数集的上 (下) 确界是惟一的 (如果存在的话).
7. 求下列数集的上确界和下确界:
p1q t
1
2
p
`
1
3
q
|p, q P Nu; p2q tx P R |x
2
´3x `1 ă 0u; p3q t
n
ÿ
k“1
1
kpk `1q
|n P Nu.
8. 设 a, b, c 为实数 (常数). 如果任给正数 ε P p0, 1q, 均成立
a `c ¨ ε ď b,
证明 a ď b.
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§1.2 数的集合 11
9. 设 A 有上确界, 则 ´A “ t´x |x P Au 有下确界, 且 inf p´Aq “ ´sup A; 设 A
有下确界, 则 ´A “ t´x |x P Au 有上确界, 且 sup p´Aq “ ´inf A.
10. 设 A 为有界非空数集, x P R, 则
infpx ` Aq “ x ` inf A, suppx ` Aq “ x ` sup A.
11. 设 A, B 为非空有界数集, 则
infpA ` Bq ď inf A ` sup B ď suppA ` Bq.
12. 考虑 Q 的子集
A “ tx P Q |x ą 0, x
2
ă 2u,
证明 A 在 Q 中没有上确界.
13. 设 a, b, c P R, n 为正整数, 证明等式
pa `b ` cq
n
“
ÿ
k
1
`k
2
`k
3
“n
n!
pk
1
q!pk
2
q!pk
3
q!
a
k
1
b
k
2
c
k
3
,
你能推广到多个实数的情形吗 ?
14. 设 a, b, c, d 为正实数, 如果
a
b
ă
c
d
, 则
a
b
ă
a `c
b ` d
ă
c
d
.
15. 设 x P ra, bs, y P rc, ds, 证明
|x ´y| ď
1
2
rpb ´ aq` pd ´ cq ` |c ´a| ` |d ´ b|s.
16. 设 a, b, c P R, 证明
|
a
a
2
` b
2
´
a
a
2
` c
2
| ď |b ´ c|,
并求等号成立的条件.
17. 设 a, b, c, d P R, 证明
pa
2
` b
2
qpc
2
` d
2
q “ pac ` bdq
2
` pad ´bcq
2
,
你能推广到多个实数的一般情形吗 ?
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