命题公式的语义与逻辑演算

"这篇资料是关于数理逻辑的教程，主要涵盖命题演算和一阶谓词演算的相关知识，出自哈尔滨工业大学计算机学院的课程，由任世军编著。内容包括命题演算的基本概念、形式语言、命题公式的语义、赋值、联接符号的含义、命题公式的分类、推理规则、范式、联结词的操作、命题演算的形式系统（PC和ND），以及一阶谓词演算的基本概念、语言、逻辑和语义等。" 在数理逻辑中，命题公式是表达逻辑关系的基础工具。1.3章节详细讲解了命题公式的语义，其中联接符号与自然语言中的逻辑连接词相对应。" "表示非，"^"表示并，"_"表示或，"Ñ"表示蕴含，"Ø"表示当且仅当。这些联接符号的含义是通过对命题公式赋予不同的值，即赋值，来严格定义的。赋值是一个从原子命题（Atom(Lp)）到真值集合{0,1}的映射，用v(p)表示命题p在赋值v下的值。 1.3.2节讨论了赋值的计算模式，这是理解命题公式真假性的关键。通过赋值，可以判断一个命题公式在特定环境下是否为真，这在逻辑推理和证明中至关重要。例如，当一个命题公式由若干子句通过联接符号构成时，可以通过计算每个子句的真值来确定整个公式的真值。 此外，资料还涉及命题演算的形式系统PC，它包括一套语言规则和推理规则，用于构建和验证命题公式的推理链。例如，1.8节介绍了PC的形式系统，包括语言部分（定义了如何构造命题公式）和推理部分（规定了哪些推理步骤是有效的）。1.10节则深入到PC的基本理论，而1.11节引入了另一种形式系统ND，并在1.12节探讨了两者的等价性。 在更高层次上，一阶谓词演算是数理逻辑的另一个重要分支，2.1节开始介绍这一主题，包括谓词、函词、变元、常元以及量词的概念。2.4节和2.5节分别讲述了一阶谓词演算的形式系统和语义，其中的FC（一阶逻辑）的完备性和合理性是逻辑推理的核心理论。 教程强调了逻辑在理性思维中的作用，逻辑不仅是判断论证有效性的重要工具，而且是研究思维规律的科学，涉及概念、判断和推理这三个思维要素。通过学习和理解这些逻辑原理，可以提高理性分析和问题解决的能力。