系数退化拟线性抛物方程解的存在性研究

"大数据-算法-系数退化的一类拟线性抛物方程解的存在性" 在潘阳的这篇论文中，主要探讨的是在大数据分析和算法应用的背景下，一类特殊类型的拟线性抛物方程解的存在性问题。拟线性抛物方程在物理学、工程学以及生物学等多个领域都有广泛应用，它们描述了一些动态过程，如扩散、热传导等。当这些方程的系数出现退化情况时，即某些区域的系数接近于零或无穷大，方程的解可能变得极其复杂，甚至难以求解。 论文首先介绍了Rothe方法，这是一种处理偏微分方程的数值方法，通过时间离散化将抛物型方程转化为一系列连续空间的椭圆问题。Rothe方法的运用使得原本复杂的抛物型方程在数值上更易于处理，尤其是在系数退化的情况下。 接着，论文利用变分法来证明椭圆问题解的存在性。变分法是一种在函数空间中寻找极值解的方法，它在处理椭圆型方程时特别有效。通过构造适当的能量泛函，可以找到满足方程约束条件的最优解。 随后，作者构造了两类逼近解，这是为了处理系数退化带来的挑战。通过这两类解的构造，论文进一步对解进行了一系列的先验估计，这是分析解的性质和确保解的存在性的重要步骤。然后，借助弱收敛方法，作者证明了在退化系数情况下抛物问题的解仍然存在。 最后，论文引入了抛物正则化方法，这是一种处理带有退化系数的非线性问题的策略，通过引入额外的正则项，使得问题在数学上更加稳定，更容易求解。结合先验估计和弱收敛技巧，论文成功地证明了所研究问题解的存在性。 关键词如“Rothe方法”、“存在性”、“变分法”、“抛物正则化方法”和“p-Laplace算子”揭示了这篇论文的核心技术和理论工具。p-Laplace算子是椭圆型偏微分方程中的一个重要算子，常用于描述非线性扩散现象。 这篇论文深入研究了在系数退化条件下，拟线性抛物方程解的存在性问题，提供了解决这类问题的理论基础和计算方法，对于理解并解决实际问题中的复杂动态系统具有重要意义。