"这是一份来自中国科学技术大学（中科大），汪增福教授的模式识别课程的期末考试试卷。试卷采用开卷网络笔试的形式，分为A卷和B卷，根据学号尾数决定作答试卷类型。考生需在自备的A4纸上答题，并在答题纸上标明姓名和学号。完成后，将答题纸扫描或拍照并发送至指定邮箱。试卷包含是非判断题，涉及概率论、数学逻辑、自动机理论、模式识别等多个方面的知识。"
在这份模式识别的期末考试试卷中，我们可以看到一系列与模式识别相关的理论和概念测试。以下是其中一些关键知识点的详细说明：
1. **多元正态分布**：第（1）题涉及到多元正态分布的性质，等密度点的轨迹为超椭球面，这是由于多元正态分布的概率密度函数在均值向量为零且协方差矩阵是对称正定的情况下具有这一几何特性。
2. **等价关系**：第（2）题考查了集合论和逻辑的基础，R是A上的等价关系，意味着R满足自反性、对称性和传递性。
3. **字符串与子串**：第（3）题考察了字符串的概念，提到的子串包括所有长度为2的连续字符组合。
4. **欧氏距离与平移变换**：第（4）题指出欧氏距离在平移变换下是不变的，这是几何学中的基本性质。
5. **字符串长度**：第（5）题提到的空串（\(\lambda\)）以及其在串中的应用，表明空串也被计入字符串的长度。
6. **有限状态自动机（FSA）**：第（6）和（7）题讨论了非确定的有限状态自动机（NFA）与确定的有限状态自动机（DFA）之间的关系，指出NFA可以等价于DFA。
7. **下推自动机（PDA）**：第（7）题同样探讨了非确定性下推自动机（NPDA）和确定性下推自动机（DPDA）的关系，表明NPDA也可以转换为DPDA。
8. **势函数法**：第（8）题提到了在二分类问题中，即使训练数据线性可分，势函数法并不总是能找到正确的决策边界。
9. **图灵机**：第（9）题讨论了非确定性图灵机（NTM）与确定性图灵机（TM）之间的转换可能性。
10. **一维特征空间**：第（10）题指出在一维空间中，分类边界可以简化为一个点。
11. **有限状态文法与有限状态自动机**：第（11）题强调有限状态文法生成的语言可以被FSA识别。
12. **正态分布的性质**：第（12）题提及多元正态分布的条件分布和边缘分布仍为正态分布，这是高斯分布的性质。
13. **留一法（Leave-One-Out）**：第（13）题涉及样本量与留一法交叉验证的关系，留一法中每个样本都作为测试样本一次，所以用于检验的样本数等于样本总数。
14. **最小风险判决**：第（14）题指出最小风险判决与后验概率有关，这是统计决策理论中的核心概念。
15. **随机向量与随机变量**：第（15）题涉及随机向量的线性组合，CTX表示向量C的转置乘以向量X，结果是一个一维的正态随机变量。
以上知识点覆盖了模式识别课程的基础理论，包括概率论、统计决策、自动机理论和线性代数等方面，这些都是理解模式识别和机器学习算法的基础。通过这样的考试，学生能够检验自己对这些概念的理解和应用能力。
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