"2020-2021期末题更正,矩阵的m次方求解方法汇总及注意事项"
期末试题汇总--更正部分错误(添加了2020-2021期末题) 写在前面: 在答案中提到的课本是指由四川大学数学学院编写的《线性代数》(中国人民大学出版社)。 本文档仅供内部参考使用,请勿将其上传到百度文库及其类似的网站上。 本文档由个人整理,如果发现错误或有更好的解题方法,请发送邮件至1315030237@qq.com。 习题课上总结的一些题: 一、求矩阵的m次方(这里之所以写m是为了与矩阵的阶数n区别开来,以防混淆): 1.数学归纳法:即依次求出A、A^2、A^3...一般情况下不常用,但在特殊情况下可能会用到(例如17-18年半期测试的一大题的第四小题,当然这个题有两种解法,可以任选其一;15-16年的期末试题三大题的第二小题的最后一问)。 2.对角矩阵的m次方:对角矩阵的m次方很容易计算。设A为一个对角矩阵,A=diag(a_11, a_22, ..., a_nn),那么Am=diag(a_11^m, a_22^m, ..., a_nn^m)。 3.特殊矩阵A的性质:如果一个n阶方阵A的主对角线上以及主对角线的一侧元素全为0,那么必有Ak=0,其中k≥n。即A是下面这几种形状之一: 0 a11 a12 ... a1n 0 0 a22 ... a2n . .. ... ... 0 0 0 ... ann 注意,这个结论只针对主对角线,对于副对角线该结论不成立。 二、2020-2021年的部分期末试题: 1. 题目描述:A、B为n阶方阵,证明(AB)T=BTAT。 解答:对于方阵A和B,有AB表示将矩阵B乘以矩阵A,(AB)T表示(AB)的转置。同样,BT表示矩阵B的转置,AT表示矩阵A的转置。 首先,求(AB)的转置: (AB)T=(AB)ji=(AB)ij 然后,求(BTAT): (BTAT)ji=AjiBi 由于矩阵A和B相乘时满足结合律,所以有: (AB)ij=AikBkj 对比(AB)T和(BTAT)的ij元素可知,它们相等,因此(AB)T=BTAT。 2. 题目描述:设A是一个3阶方阵,A的特征值为λ=2、λ=3、λ=4,求A的迹与行列式。 解答:根据矩阵的特征值和迹、行列式的性质,有以下等式成立: 迹(A) = λ1 + λ2 + λ3 行列式(A) = λ1 * λ2 * λ3 将λ1=2,λ2=3,λ3=4代入上述等式,可以得到A的迹为9,行列式为24。 以上是对习题课上总结的一些题目以及2020-2021年部分期末试题的概括。根据这些题目我们可以总结出一些线性代数的基本方法和技巧,如数学归纳法、对角矩阵的幂、特殊矩阵的性质等。希望这些内容对大家的学习有所帮助。如果在整理过程中发现了错误或有更好的解题方法,欢迎大家发送邮件给我,共同进步。
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