算法分析与设计：贪婪策略与二分图覆盖解析

"《算法分析与设计》作业答案包含了对连续背包问题的贪婪算法分析以及二分图最小覆盖算法的探讨。" 在算法分析与设计领域，本作业主要涉及两个重要概念：贪婪算法和二分图的最小覆盖问题。 1. 贪婪算法在连续背包问题中的应用 - 连续背包问题不同于经典的0-1背包问题，其中物品可以部分装入背包。这里提出的贪婪策略是按价值密度（价值/重量）非递减的顺序选择物品。当物品完全或部分装入背包时，只要不超过背包的剩余容量。 - 对于n=3，w=[100, 10, 10]，p=[20, 15, 15]，以及c=105的实例，按照贪婪策略，先选价值密度高的物品w2和w3，然后部分装入w1，得到的最优解是总价值47。 - 证明了这个贪婪算法总是能获得最优解。关键在于假设物品已经按价值密度排序，如果在装入第pi个物品时，正好需要取xi个wi，那么后续的物品价值密度都小于pi，因此无法提供更高的价值，所以此时的解是最佳的。 - 提供了伪代码描述该贪婪算法，采用间接排序物品的权重，然后逐个尝试装入背包直到无法再装入为止。 2. 二分图最小覆盖问题 - 二分图的最小覆盖问题是在二分图中寻找最小的顶点集合，使得这些顶点覆盖所有的边。 - 给出的算法是一种贪心策略，从具有最大度数的顶点开始，将其加入覆盖集合，减少其相邻顶点的New[i]值。如果所有顶点都被覆盖，那么找到了一个覆盖；否则，算法失败。 - 证明了当且仅当二分图没有覆盖时，上述算法会失败。也就是说，如果二分图有至少一个覆盖，那么这个算法总会找到一个最小覆盖。 - 反过来，如果二分图有覆盖，算法通过选择覆盖未被覆盖顶点最多的顶点，可以找到最小覆盖。 这两个问题都体现了在算法设计中，贪心策略常常用于简化问题并寻求有效解，但在某些情况下可能不保证找到全局最优解。在实际应用中，理解算法的局限性和适用条件至关重要。在解决实际问题时，可能需要结合其他算法，如动态规划或回溯搜索，来寻找更广泛的最优解。