N指标d维广义α-stable过程研究：标准表示与应用

"这篇论文研究了N指标d维广义α-stable过程，这是一种新的随机过程，涵盖了α-stable过程和广义布朗运动。作者通过导出该过程的标准表示，解决了覆盖图集所需的最少立方体数量问题，为计算样本轨道图集的Hausdorff测度函数提供了基础。" 在数学和统计学中，α-stable过程是一种具有稳定分布的随机过程，具有强大的理论意义和应用价值，尤其是在金融学和信号处理领域。α-stable过程的特征在于其增量具有稳定性，即经过适当的缩放和位移后，两个独立的增量可以组合成另一个α-stable分布。α-stable过程的指数α通常在0到2之间，决定了过程的性质，例如α=2对应于高斯（正态）分布，而α<2则允许存在大跳跃。 论文的作者郑水草引入了一个更广泛的类别，即广义α-stable过程，这个过程保留了α-stable过程的独立增量性，但不具备平稳性。同时，它还包含了一种特殊的随机过程——广义布朗运动，这是一种非线性的布朗运动变种，其行为可能比传统的布朗运动更加复杂。 论文中提到的“标准表示”是解决此类过程的关键，因为它提供了一种结构化的方式来描述和分析过程的行为。标准表示使得我们可以更有效地处理过程的局部不规则性和跳跃现象，特别是在高维空间中。这对于理解和模拟复杂系统中的随机动态尤其重要。 此外，论文解决了覆盖图集的最少立方体个数问题，这是在统计估计和模拟中常见的问题。最少立方体个数的计算对于构建过程的精确模型和进行概率估计至关重要。通过解决这个问题，作者为确定广义α-stable过程的样本轨道图集的Hausdorff测度函数奠定了基础。Hausdorff测度是测量空间结构的一种方法，特别适用于描述具有非平凡拓扑特性的集合。 论文引用了W. Ehm的研究，他使用A型α-stable过程解决了覆盖问题和击中概率问题。作者沿用了这种方法，但扩展到了更广泛的广义α-stable过程，从而拓宽了研究的视野。 预备知识部分提到了Lebesgue测度和Lebesgue-Stieltjes测度，这些都是实分析中的基本概念，用于度量区间或更一般集合的大小。在处理随机过程时，这些测度工具是必不可少的，因为它们可以量化过程在不同时间点的变化。 这篇论文为理解和操作复杂的高维随机过程提供了新的工具和理论，对于理论数学、统计学和依赖于随机模型的应用领域都有重要的贡献。