3.2.
混沌分析
3.2.1.
分岔图
Logistic映射具有较小的混沌参数范围,并包含许多周期性窗口,如
图1(a)所示的分岔图中的无阴影区域所示。当用于密码学应用时,必
须避免这些周期性区域。因此,当控制参数值被用作秘密密钥的一部分
时,总体密钥空间被大大减小。因此,增加混沌参数范围有助于克服由
于增加的密钥空间而导致的暴力破解攻击。为了研究混沌参数范围,可
以用分岔图来表示混沌点与控制参数之间的关系。图1(a)和(b)显
示了逻辑斯蒂映射的分叉图及其拟议的增强。我们可以看到,新的映射
不再具有周期性,并且状态变量x在0和1之间均匀分布,而不管r如何。
这意味着该模型不仅消除了Logistic映射的周期窗口,而且扩大了其混
沌参数范围。
3.2.2. Lyapunov
指数
对初始条件和控制参数的微小变化的敏感性在基于混沌的密码学应
用中起着重要作用。LE是一个数学指标,可以在不同的初始条件和参数
设置下计算。与具有较小或负LE值的混沌映射相比,具有较大且正LE
值的混沌映射具有在较短时间段(较少迭代)之后发散的混沌点。换句
话说,较大的LE值意味着增加的不可预测性和敏感性。相反,负和零
LE值指示周期性行为和在多次迭代之后收敛的混沌点。我们计算了经典
的和增强的Logistic模型的LE值,
图二
.
在相同参数设置下,
Logistic
映射和增强
Logistic
映射的
LE
值。
在相同的初始条件和参数设置下映射。 图2显示了两个混沌映射的LE
值。我们可以观察到,新的增强型逻辑斯蒂图对于几乎整个r0; 4范围具
有更大的正LE值,而逻辑斯蒂图对于几乎整个r 0 ; 4范围具有更大的正
LE值。 图仅具有正LE值的小区域。这些结果证实了增强的Logistic映
射具有更高的不可预测性和灵敏度相比,其经典的对应。
有一些控制参数的值是产生非混沌的,如0.28和2.15,这些参数在映
射的几次迭代后产生不动点。一个不动点意味着混沌映射产生相同的输
入x
j
<$f<$x
j
;r<$。每个混沌映射都能产生不动点,但不动点的类型取决
于混沌行为是吸引到不动点上还是在不动点上发散。(二)、为了得到
准确的结果,在雅可比矩阵中不使用模运算。方程的雅可比矩阵(2)
计算为
f
0
x
l
2
r
·
2
x
-
1
·
2
10
-
r
·
1
-
xx
其中f
0
x 是x和r任意值的导数结果。
当不动点的雅可比矩阵超出区间[-1,1]时,不动点是不稳定的,周
围的所有状态都不会吸引它们。当不动点的雅可比矩阵落在区间[0,1]
内时,不动点是相邻状态的吸引子,表明系统是 稳定 我们使用
r<$0:28,固定点为x
n
<$0:502405747468856。的
1.