计算机图形学：二维几何变换与矩阵操作

"本资源主要介绍了二维几何变换在计算机图形学中的应用，包括平移、旋转、比例和对称变换，以及如何通过变换矩阵进行组合变换。" 在计算机图形学中，图形变换是将图形从一个坐标系转换到另一个坐标系的关键技术，它涉及到线性变换、保持形状和拓扑关系不变的特性。本章主要探讨了四种基本的二维几何变换：平移、旋转、比例和对称变换，并讲解了如何利用变换矩阵来实现这些操作。 1. 平移变换：平移变换是将图形沿着某个方向移动一定的距离。在数学表达式中，如果一个点P(x, y)需要向x轴正方向移动Tx单位，向y轴正方向移动Ty单位，那么新的坐标P'(x', y')可以通过公式计算得到：x' = x + Tx，y' = y + Ty。对应的变换矩阵是一个2x2单位矩阵加上一个平移向量，即[1 0 Tx; 0 1 Ty]。 2. 旋转变换：旋转是使图形围绕一个点（通常是原点）按一定角度转动。逆时针旋转θ度时，点P(x, y)到P'(x', y')的变换可以表示为： x' = x * cos(θ) - y * sin(θ)，y' = x * sin(θ) + y * cos(θ)。对应的旋转矩阵为 [cos(θ) -sin(θ); sin(θ) cos(θ)]。 3. 比例变换：比例变换可以放大或缩小图形，其中a是缩放因子。如果a>1，图形被放大；如果a<1，图形被缩小；如果a=1，变换保持图形大小不变。点P(x, y)的比例变换为P'(ax, ay)。对应的变换矩阵是 [a 0; 0 a]。 4. 对称变换：包括关于x轴、y轴和坐标原点的对称。对于x轴对称，P'(x, -y)；y轴对称，P'(-x, y)；原点对称，P'(-x, -y)。对应的变换矩阵分别是 [1 0; 0 -1]，[-1 0; 0 1]，和 [-1 0; 0 -1]。 5. 变换矩阵的组合：通过累加或乘以多个变换矩阵，可以实现更复杂的复合变换。例如，函数`accumulate_transformation_matrix(matrix1, matrix2, matrix)`将两个矩阵matrix1和matrix2相乘，并将结果赋值给matrix，这样就可以连续执行多个变换。 图形变换在计算机图形学中扮演着重要角色，它们使得开发者能够灵活地控制图形在屏幕上的显示，从简单的图形构建复杂的场景，以及实现视角变换和动画效果。掌握这些基本变换及其矩阵表示，是理解和应用计算机图形学技术的基础。