基于最小度排序的大型线性方程组预处理技术研究

"最小度排序在大型线性方程组求解中的应用" 本文主要探讨了在解决大型非对称线性方程组时，如何利用预处理技术和最小度排序来优化ILUTP预条件器的选择主元过程，旨在减少矩阵分解中的填充元，降低存储复杂性和计算量，同时保持矩阵的稀疏性。 最小度排序（Minimum Degree, MD）算法由Tinney和Walker首次提出，是一种用于符号矩阵分解的排序方法。在大型线性方程组的求解中，特别是采用迭代法时，预处理步骤至关重要。预处理技术能够改善矩阵的结构，提高后续算法如CG（Conjugate Gradient）迭代的收敛速度。对于对称正定矩阵，通常采用不完全LU（Incomplete LU）分解（ILU）或不完全Cholesky分解（ILUTP），但在这些分解过程中，可能会生成大量填充元，导致存储需求增加和计算效率下降。 ILUTP预条件器是一种不完全分解技术，它在选择主元时考虑列非零元素的权值参数，以控制分解后的填充程度。通过引入最小度排序，可以对系数矩阵进行重排，使得在分解过程中填充元的数量减少。这不仅减少了存储的需求，还降低了计算量，从而提高了算法的运行效率。关键在于，这种排序方法能有效地保护矩阵的稀疏性，避免在分解过程中矩阵变得过于稠密，这对于处理大规模问题尤其重要，因为稠密矩阵会显著增加计算负担。 文章指出，尽管最小度排序在完全Cholesky分解中表现良好，但针对不完全分解，可能需要更适应性的策略。传统的最小度排序可能并不完全适用于不完全分解，因为它并未考虑到实际数值的影响。因此，研究者在ILUTP预条件器中结合了最小度排序和列非零元的权值参数，以更好地适应不完全分解的特性，从而实现更好的性能。 作者杨勇和张勇进一步讨论了如何在实际应用中调整和优化这些参数，以达到最佳的预处理效果。他们的研究工作对于改进数值线性代数中的预条件技术具有重要意义，特别是在科学计算和工程问题中，解决大规模线性系统是至关重要的一步。 关键词涵盖迭代法、预条件技术、不完全分解、排序技巧以及选主元策略，这些都是线性代数和数值分析领域中的核心概念。文章通过中图分类号和文献标识码指明了其在自然科学领域的研究性质，并提供了DOI以便于读者追踪和引用该研究。 这篇论文展示了最小度排序如何与预处理技术相结合，以提高大型非对称线性方程组的求解效率，对于数值计算的理论研究和实际应用都具有参考价值。