Dijkstra算法在ACM图论问题中的应用

"ACM竞赛中的图论算法，主要涉及Dijkstra算法的实现以及优化" 在ACM（国际大学生程序设计竞赛）中，图论算法是解决许多问题的关键。这里我们关注的是Dijkstra算法，它是一种用于寻找图中两点间最短路径的算法。Dijkstra算法通常用于有权图，即图的边具有非负权重。 1. Dijkstra算法 Dijkstra算法的基本思想是从源点开始，逐步扩展最短路径，直到到达所有其他顶点。在初始阶段，所有顶点的最短距离被设置为无穷大，源点的最短距离被设置为0。然后，算法每次选择当前未访问且距离最小的顶点，并更新其相邻顶点的距离。这个过程会持续进行，直到所有顶点都被访问过。 在给定的代码中，Dijkstra算法的实现分为两个版本： - 第一个版本使用了简单的for循环和数组来实现，其时间复杂度为O(V^2)，其中V是图的顶点数量。这个版本虽然直观，但在处理大型图时效率较低。 ```cpp // 第一个Dijkstra算法实现 for(int i = 1; i < n; i++) { dis[i] = a[src][i]; // 初始化距离 vis[i] = false; // 初始化未访问标记 } vis[src] = true; // 标记源点已访问 for(int i = 1; i < n; i++) { int temp = inf, k = src; for(int j = 1; j < n; j++) { if(vis[j]) continue; // 跳过已访问顶点 if(temp > dis[j]) { // 更新最短距离 temp = dis[j]; k = j; } } vis[k] = true; // 标记k已访问 for(int j = 1; j < n; j++) { if(vis[j]) continue; dis[j] = MIN(dis[j], dis[k] + a[k][j]); // 更新相邻顶点的距离 } } ``` - 第二个版本使用了优先队列（如二叉堆）来优化，将时间复杂度降低到O((V+E)logV)，其中E是图的边的数量。这个版本通过优先队列来快速找到当前最短距离的顶点，从而提高了效率。 ```cpp // 第二个Dijkstra算法实现 priority_queue<note, vector<note>, greater<note>> pq; memset(dis, 0x3f, sizeof(dis)); // 初始化距离为最大值 memset(vis, false, sizeof(vis)); pq.push({0, src, 0}); // 入队源点 while(!pq.empty()) { note now = pq.top(); pq.pop(); int u = now.u, v = now.v, c = now.c; if(vis[u]) continue; // 跳过已访问顶点 vis[u] = true; for(int i = head[u]; ~i; i = next[i]) { int v = to[i]; if(dis[v] > dis[u] + c[i]) { dis[v] = dis[u] + c[i]; pq.push({dis[v], v, c[i]}); } } } ``` 这个摘要中的代码还涉及了一些常用的C++编程技巧，如定义宏以简化代码，使用`#include`引入所需库，以及使用`using namespace std;`来避免重复的命名空间前缀。在ACM竞赛中，理解并熟练运用这些算法和技巧对于提高解题速度和正确率至关重要。