胡寿松第五版《自动控制原理》：根轨迹的模相条件详解

根轨迹在自动控制原理中扮演着关键角色，它是分析线性系统的稳定性、性能和动态响应的重要工具。在胡寿松教授主编的第五版《自动控制原理》中，讲解了根轨迹的模值条件和相角条件，这两个条件对于理解和绘制根轨迹图至关重要。 首先，模值条件是根轨迹上某点对应的K*值（开环增益）的计算规则。根据给出的部分内容，K*的表达式涉及到多项式乘积的绝对值，即\( |(s-z_j)| \)和\(|(s-p_i)|\)，其中\( z_j \)和\( p_i \)分别为系统传递函数的极点和零点。满足的等式是所有这些绝对值的乘积等于1，或者其和与\( (2k+1)\pi \)之间的角度差为整数倍的π，其中\( k \)为整数。这个条件确保了根轨迹在复平面上的闭合路径。 其次，相角条件则是关于根轨迹上各点相位变化的限制。它表明，当\( s \)从实轴向左移动时，所有相角之差\( \sum \angle(s-z_j) - \sum \angle(s-p_j) \)应等于常数的整数倍π，再次强调了根轨迹在复平面上的特性。 绘制根轨迹的充要条件是同时满足模值条件和相角条件。理解这两个条件对于设计和分析控制系统有着直接的影响，例如在分析系统的稳定性边界，确定闭环系统性能，以及在控制系统的参数调整中优化系统响应。 在讲解过程中，教材以PowerPoint和MATLAB作为教学工具，利用交互式元素帮助教师和学生更好地掌握根轨迹的概念。课程内容涵盖了第一章至第五章，涉及串联并联反馈系统、误差带分析、传递函数计算、根轨迹图的绘制以及不同类型的根轨迹（如180°和零度根轨迹）的特性和方程。 每个课件都有其特定的重点和目的，例如确保教师能够有效地讲解反馈系统的特征，以及解释如何通过梅逊公式处理结构图。同时，教材也注重实例和理论相结合，让学生能够在实践中理解和应用根轨迹分析方法。 根轨迹的模值条件与相角条件是自动控制原理中的核心概念，它们构成了控制系统分析和设计的基础，对理解和解决实际工程问题具有重要意义。通过学习和应用这些条件，工程师们能够更好地理解和控制系统的动态行为。