Stallard函数族Julia集的Hausdorff维数逼近1的证明

本文主要探讨的是函数族Julia集的Hausdorff维数，由杨存基在2009年的《北京师范大学学报（自然科学版）》第45卷第2期发表。Julia集是复分析中的一个重要概念，它与非线性有理函数或整函数的动态系统密切相关。在数学中，特别是复动力系统理论，Julia集被定义为非线性函数的图像不稳定的区域，其行为通常比Fatou集（函数的稳定区域）更为复杂。 Stallard的工作表明了一个重要的发现，即存在一类特殊的超越整函数，其Julia集的Hausdorff维数可以无限接近于1。Hausdorff维数是度量几何复杂性的指标，它在这个背景下暗示着这些Julia集的局部密度非常大，但并非完全填充整个复平面。Baker的研究进一步证实了超越整函数的Julia集至少有一个维数为1的分支，但确切地是否存在Hausdorff维数为1的超越整函数一直是个未解之谜。 本文的贡献在于，作者不仅验证了Stallard的结果，即特定函数族的Julia集也具有相似的性质，它们的Hausdorff维数可以趋向于1。这一发现对于理解Julia集的几何结构以及它们在动力系统中的角色具有重要意义。通过考虑M个不同的整函数族F={f1, f2, ..., fM}，并且计算其中相互判别的整函数数目＃F，文章深入探讨了这种维数趋近于1的现象背后的数学机制。 研究方法可能涉及迭代理论、复分析技巧以及几何测度论，因为Hausdorff维数的计算通常需要对集合的精细结构进行分析。此外，国家自然科学基金和青年基金的资助项目表明这项工作具有理论基础的深度和实际应用的潜力。 总结来说，这篇文章的核心知识点是：（1）整函数族Julia集的Hausdorff维数的理论，包括其定义、性质以及与超越整函数的关联；（2）Stallard和本文作者对于维数趋近1现象的具体证明；（3）Hausdorff维数在复动力系统中的地位及其测量的意义。通过这些研究，我们能更好地了解非线性动态系统的复杂行为和几何特性。