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2
预赛
2.1
量子电路和复杂性类
我们使用量子态的标准符号和量子电路的标准图[18]。量子电路由基本门组成,其中基
本门是单量子位、CNOT和无界扇出门(除非另有说明)。k+ 1个量子位上的无界扇出门
实现定义为
其中y
,
x
j
∈ {
0
,
1
}
,k
≥
1,且
k
表示模2加法。第一输入量子位,即,量子比特的状态
|
称为控制量子位。当k= 1时,门是CNOT门。 由于无界
函数
使类的可操作性更强,因此我
们可以称之为“可操作性”,而这种可操作性是新的
。
量子
电路的复杂性度量是它的大小和
深度。量子电路的大小被定义为其中所有基本门的总大小,其中基本门的大小被定
义为受门影响的量子比特的数量量子电路的深度定义如下。输入量子位被认为具有
深度0。对于每个门G,G的深度等于1加上G所依赖的门的最大深度量子电路的深度
定义为其中门的最大深度直观地说,深度是电路中的层数,其中一层由可以并行应
用的门组成 量子电路可以使用初始化为
|
0分。
对
于
a
=
a
0
···
an
−
L
1
∈
{
0
,
1
}
n
\
{
0
n
}
,
具
有
v
a
n
b
i
t
s
,d
ent
d
a
p
A
a的p
a
r
i
t
y
f
io
n
n
定义为PA
a
(x)
=
n
−
1
a x
,
其中x
=
x
· · ·
x
∈ {
0
,
1
}
。 我们将PA表示为PA。为
例如,PA
10
(
x
)=
x
0
,PA
01
(
x
)=
x
1
,PA
11
(
x
)= PA
2
(
x
)=
x
0
x
1
。对于任意整数
1
≤t≤n
,
具有三个存储块的三个存储函数,定义为T
H
t
(
x
)
=
1,
如果
|
X
|
≥
t
否则为
0
,其中
x
=
x
0
···
xn
−
1
∈
{
0
,
1
}
n
,
|
X
|
=
n
−
1
x
j
,x的汉明重量。的
在n位上的OR函数(表示为OR
n
)被定义为TH
1
。在n位上的AND函数(表示为AND
n
)被
定义为TH
n
。对于任何整数1
≤
t
≤
n,值为t的n位精确函数,记为
作为EX
t
,其定义类似于TH
t
,
除了
|
X
|
TH定义中的≥ t t替换为
|
X
|
= t。
函数EX
0
被定义为OR
n
的否定。 用于计算PA
a
的量子运算是
|
z
<$P A a
(
x
)
<$
,
|
z
⊕
P
A
a
(
x
)
⟩
,
其中x
j
,
z
∈ {
0
,
1
}
且x=x
0
···
xn
−
1
。为了简单起见,该操作也被表示为PA
a
。的
类似地定义量子运算TH
t
、OR
n
、AND
n
和EX
t
对于任何整数m>0,
n n
q
u
a
n
t
um
F
o r
r
t
r
a
n
s
f
o
r
m
u
r
m
u
r
t r
a n s f o r m u
r d
a
s
F
m
,
是q
u
a
n t
u m
o
p
prat io
nn
s f o r m u r a n s f o rm u r
a n s f o r m u r d a
s
f o r m u r a n s f o r m u r a n s f o r m u r d a s f o r m u r a n s f or m u r a n n s f o r m u
r a n s f o r m u r a n n s f o r m u r a n s f o r m u r a n s f o r a n s f o r m u r a n s f o r m u r a m u r
定义为
|
x
<$
→
1
m
−
1
ω
xy
|
y,其中0
≤
x
≤
m
−
1且ω
由(统一的家庭)常数深度多项式大小的量子电路组成的
电路可以使用OR
k
的门作为由任意poly(n)限定的任何k的基本门,
对于输入长度n。
QTC
0
的定义与
QAC
0
的定义相同,只是量子电路
f f
1
≤
t
≤
k。 虽然一些作者假设量子电路只能使用有限数量的不同的单量子比特门[15],但
我们并没有这样假设,因为我们考虑了确切的设置。因此,本文中的复杂度类等于或大
于仅考虑有限数量的不同单量子位门的论文中的复杂度类。然而,我们注意到,在我们
的电路中使用的单量子比特门对于任何整数k
≥
0仅是Hadamard门H和Z(±π/
2k
)门,其
中,对于任何θ
∈
R,