重庆大学吴新生教授：多元函数微分法及其应用详解

本资源是一份关于大一高等数学课程的第八章讲义，由重庆大学数理学院教师吴新生主讲，主题是“多元函数微分法及其应用”。本章节详细探讨了多元函数的基础概念，包括： 1. 多元函数的基本概念： - 区域：定义为平面上点集E，其中的点P如果满足其邻域内所有点都属于E，则称P为内点，E为开集。若P的邻域内既有属于E的点也有不属于E的点，则称P为边界点。 - n维空间：指由n个有序变量组成的集合，如二维空间由(x, y)构成，n维空间中两点之间的距离计算方法。 2. 偏导数： - 对于二元函数z=f(x, y)，偏导数描述了函数在某一变量变化时，其他变量保持不变的情况，如∂z/∂x和∂z/∂y。 3. 多元复合函数的求导法则： - 介绍如何对复合函数进行求导，这对于理解和应用多元函数的微分非常重要。 4. 隐函数的求导公式： - 针对给定的隐函数，学习如何通过链式法则和隐函数定理来计算其导数。 5. 微分法在几何上的应用： - 包括求多元函数极值的方法，以及如何运用微分概念解决几何问题，如曲率、切线等。 6. 多元函数的极值及其求法： - 介绍如何确定多元函数的局部极大值和极小值，以及如何找到这些极值点。 7. 方向导数与梯度： - 方向导数是函数沿特定方向的变化率，梯度则是函数在各方向上变化最快的方向和对应的斜率。 8. 全微分： - 讨论函数可微的条件，以及全微分与偏导数的关系，强调微分在多元函数中的核心地位。 9. 习题与练习： - 提供了一系列习题，用于巩固学生对多元函数微分法的理解和应用能力。 这份PPT是大一高数学习者深入理解多元函数理论和实践操作的重要参考资料，涵盖了从基础概念到高级应用的全面内容。