有限元线法解决平行四边形斜板弯曲问题

"有限元线法斜型薄板单元及其应用 (2003年)，桂胜华和唐寿高，上海师范大学学报(自然科学版)，2003年12月，研究了斜型薄板单元在有限元线法（FEMOL）中的应用，用于解决平行四边形斜板的弯曲问题。该方法通过半离散总势能泛函的极值条件推导出控制微分方程组，并使用ODE求解体系。实验证明，使用少量斜单元即可获得高精度的解。" 本文介绍了一种利用有限元线法（FEMOL）解决斜型薄板弯曲问题的方法，特别是针对平行四边形斜板。FEMOL是一种基于线性元素的有限元方法，通常用于简化计算过程。在该研究中，作者桂胜华和唐寿高提出了一个创新的斜平行四边形单元模型，这个模型不需要映射到标准单元，简化了计算步骤。 在每个斜单元中，作者选取两条斜边作为结线，并定义结线挠度和平行单元端边方向的转角作为基本未知函数。通过Hermitian插值方法在结线间建立基本函数。然后，通过数学和物理关系，以及利用半离散总势能泛函的极值条件，他们导出了一个四阶控制微分方程组（ODEs）以及相应的边界条件。这种方法的优势在于，它可以减少所需的单元数量，从而降低计算复杂性。 为了求解这些微分方程，作者采用了COLSYS求解程序，这是一个专门用于常微分方程组的数值求解器。算例表明，即使只使用少量的斜单元，也能对斜型薄板的弯曲问题得到高度精确的解答。 文章中，作者详细阐述了斜坐标系统与直角坐标的映射关系，以及斜形单元的位移函数和应变内力表达。位移函数通过形函数矩阵[N]与结线位移向量{d}关联，形函数矩阵仅依赖于坐标ξ，而结线位移向量仅依赖于坐标η。Hermitian插值函数在此过程中起到了关键作用，确保了插值的连续性和精度。 这项工作为有限元分析提供了一种有效且高效的方法，特别是在处理斜型结构的弯曲问题时。它不仅简化了单元建模，而且通过优化单元网格的数量，提高了计算效率，同时保持了解的高精度。这一研究成果对于工程计算力学和结构分析领域具有重要的理论和实践价值。