分治法解决最近点对问题
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更新于2024-08-05
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"Closest Pair 分治法算法的实现与解析"
Closest Pair问题是一个经典的计算机科学中的几何算法问题,其目标是在二维平面上的一组点中找到最近的两点对。这里的分治法策略是一种有效的解决方法,它可以将大问题分解成小问题,逐层递归地解决,最后合并结果。
算法思路如下:
1. **预处理**:首先对所有点按照x坐标进行排序。这样可以确保在后续处理过程中,点总是按照x坐标顺序排列。
2. **分割**:使用二分法将排序后的点集分成两部分,直到每部分包含2或3个点。这是因为当点的数量非常少时,我们可以直接计算所有可能的点对组合,找出最近的点对。
3. **子问题处理**:对于每个子问题,我们需要检查子问题边界附近的点与另一子问题中所有点的距离。但是,我们不需要比较所有点对,而是只考虑那些距离子问题边界线小于当前已知最小距离(min_len)的点。
4. **优化**:避免不必要的计算。在x轴上,我们只需要考虑那些离边界线小于min_len的点。同时,如果我们在y轴上也进行排序,可以进一步减少需要检查的点的数量。例如,对于子问题S1中的点p,我们只需考虑那些在以p为中心,半径为min_len的圆内的点。为了简化,我们可以假设p位于边界线上,这样需要考虑的区域就是图中灰色部分所示。
5. **代码实现**:给出的代码定义了结构体`Record`用于存储最近点对的信息,结构体`Points`表示二维空间中的点,以及`dis()`函数来计算两点间的距离。此外,`min()`函数用于取两个数中的较小值,`cmpx()`和`cmpy()`是用于排序的比较函数。
6. **递归终止条件**:当子问题规模减小到2或3个点时,可以直接计算这些点之间的距离,找出最近的点对。
7. **合并结果**:在递归的每一层,都会找到两个子问题内的最近点对。最后,需要将这些结果进行比较,找出全局的最近点对。
通过这种分治策略,算法的时间复杂度可以达到O(n log n),比简单的O(n^2)算法有了显著的改进。在实际应用中,这种优化对于大数据集来说至关重要,因为它大大减少了计算量。
2021-05-06 上传
2011-10-24 上传
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高工-老罗
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