连续系统离散化方法：反向差分与双线性变换详解

连续系统离散化是信号处理和控制系统设计中的关键步骤，它允许我们把连续时间的系统转换为离散时间系统，以便在数字信号处理器或计算机上实现。这里介绍了一种常用的离散化方法——反向差分变换法。 反向差分变换法起源于将连续系统的微分方程通过替换微分操作为离散形式来实现。在给定的连续系统传递函数 Us(s) = Ds / Es (5.1) 中，若使用反向差分代替微分，我们得到 dut(uk) ≈ (uk - uk-T) / T (5.2)，其中uk 表示时间步长 Ts 内的信号采样值，T 是采样周期。将这个差分表达式进行 Z 变换，得到其等效的离散传递函数： 1 (1)() () z Uz TEz − − =1 () 1 () 1 () Uz Dz z Ez T − = = − (5.3) 这个过程表明，可以通过将原传递函数中的 s 值用 z^-1 = 1 / (Ts * s) (5.4) 替换，得到离散系统的传递函数： 1 1 () () z s T Dz Ds − − = = (5.5) 此外，还可以利用级数展开近似 z^-1，比如一阶泰勒展开得到 z^-1 ≈ -Ts (5.6)，这简化了离散化过程并得出类似 (5.7) 的简化形式。 反向差分变换法的重要特点是它能够保留原系统的稳定性。通过将s平面（频率域）的稳定条件映射到z平面（离散频域），可以发现s平面的稳定域被映射到了以 jω = σ / (2T) 为中心，半径为 ω/T 的圆内，即在z平面上，只要复数部分的实部满足 Re(z) < 1，系统就保持稳定性（图5-3）。 该方法的优势在于它的直观性和易用性，适用于需要将连续系统数字化的许多应用，例如模拟滤波器的设计和数字控制器的实现。不过，需要注意的是，在实际应用中，还需考虑采样频率和系统的截止频率，以确保采样定理的满足，避免可能出现的频率混叠现象。此外，不同类型的连续系统可能需要采用不同的离散化策略，如Tustin变换、Bilinear变换等，以优化系统的性能和复杂度。