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度约束最小生成树算法的研究与应用
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更新于2024-07-01
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"度约束最小生成树算法.pdf" 度约束最小生成树算法是网络优化领域中的一个重要问题,尤其在处理各种实际网络系统时,如电路设计、管道布局、计算机网络及通信系统等。这类问题旨在寻找一种网络结构,使得在满足特定度约束(即节点的连接数量限制)的同时,整个网络的总权重尽可能小。这个问题对于提高网络效率和社会经济效益具有重要意义。 本文首先深入探讨了单点度约束最小生成树问题。在第二章中,作者提出了两种算法来解决这个问题。第一种是单点最大度约束最小树算法,其时间复杂度为O(n^2),通过权矩阵法实现了计算机上的操作。接着,通过对网络结构的分析,作者发现顶点的最小度与网络的关于该顶点的分裂数相等,从而提出了单点最小度约束最小树算法,同样具有O(n^2)的时间复杂度。此外,作者还推导出网络中单点度约束最小树存在的充要条件,并改进了现有的Glove-Klingman算法,实验证明改进后的算法更高效。 第三章则进一步扩展到度约束最小生成树问题的一般情况。作者设计了一种新的快速近似算法,用于解决更广泛的度约束问题,实验结果显示该算法表现出良好的性能。基于此,作者还提出了解决旅行商问题的两步法,这是一种经典的组合优化问题。大量的仿真实验表明,提出的两步法在解决旅行商问题时也取得了令人满意的效果。 本文主要贡献在于对单点度约束最小生成树问题的研究以及提出的新算法。这些算法不仅理论基础扎实,而且在实际应用中显示出高效性,为网络优化问题提供了有价值的解决方案。关键词包括:网络、最小树、最小树算法和旅行商问题,反映了本文的核心研究内容。
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第二章单点度约束最小生成树
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第二章单点度约束最小生成树
本章主要对单点度约束问题进行了研究。首先给出单点最大度约束最小生成
树算法和单点最小度约束最小生成树算法,然后给出了改进后的Glove—Klingman
算法,最后进行了仿真实验,实验结果表明改进后的算法是非常有效的。
§2.1单点度约束最小生成树问题的概述
最小生成树问题是组合优化中的一个重要的问题。自五十年代后期
Rosenstiehl、Prim和Krtmkal先后给出求解这一问题的算法以来,人们对这个问
题的研究兴趣一直未断,相关的理论被应用到很多领域。现在这个问题已经得到
了很好的解决,其中经典的算法有破圈法、边割法、还有避圈法。但是在实际中
对最小树问题又会有这样那样的限制,正如本章中所探讨的网络G(v,E,∥)关于
%的最大度约束条件下的最小树问题和网络G(V,E,∥)关于%的最小度约束条件
下的最小树问题,以及网络G(V,E,矿)关于v0的k度约束条件下的最小树问题。
§2.2单点度约束生成树问题的相关概念
本章中涉及到的图均指简单的连通图,涉及到的网络均指简单的连通无向网
络。用G(V,E)表示一个简单的连通图,简记为G,其中矿(G)表示图的顶点集,
简记为矿。E(G)表示图的边集,简记为E,特别的用EVo(G)表示图G中与v0关
联的边集。用G(V,E,rV)表示一个简单的连通无向网络,∥表示权矩阵,其中
%=∞,i=l,2,…,以;若v■∈以G),则%=缈(qvJ):若vj吩gE(G),则%=00。
定义2.2.116]设G(V,E,W)是一个连通的无向网络,v0是网络中特别指定的一
个顶点,k为给定的一个正整数,如果r是G的一个支撑树且dr(vo)=k,则称r
为G的k度限制支撑树。其中G中权最小的k度限制支撑树称为G的最小k度限
制树。
定义2.2.2设G(V,E,W)是一个简单的连通无向网络,vn是网络中特别指定
的一个顶点,在这个网络的所有支撑树中找出使得吒的度最大的那些支撑树,并
且在所找的这些支撑树中权最小的那个支撑树就叫做网络G(V,E,矿)关于vn在最
大度约束条件下的最小生成树。
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度约束最小生成树问题的研究
定义2.2.3设G(V,E,W)是一个简单的连通无向网络,%是图中特别指定的
一个顶点,在这个网络的所有支撑树中找出使得vn的度最小的那些支撑树,并且
在所找的这些支撑树中权最小的那个支撑树就叫做网络G(V,E,W)关于v0在最小
度约束条件下的最小生成树。
定义2.2.4设G(V,E)是_个简单的连通无向图,%是图中特别指定的一个
顶点。我们称G—Vo为图G(V,E)关于%的分裂图,简记为Lvo(G),其中G—v0表
示从图G(V,E)中去掉%以及与vo相关的边后所得到的新图。
定义2.2.5设tvo(G)是图G(V,E)关于v0的分裂图,不妨设Lvo(G)有r个连
通分支,则我们称t为图G(V,E)关于%的分裂数,我们用q(K,E),信1’2,…t来
表示分裂图Lvo(G)的t个连通分支。
定理2.2.1设G(V,E)是简单的连通图,我们用Ⅳ表示图G(V,E)的所有支撑
树的集合,即Ⅳ=口I堤图G自勺支撑树),则碍臻‘{由(v0))=如(vo),(其中西(v0)表
示顶点vo在T中的度,如(v0)表示顶点v0在G中的度)。
证明在图G的生成树集合Ⅳ中任意取一棵生成树r,显然露m)≤如(Vo),
所以我们只要能构造出一棵生成树,其中v0的度等于如“)。而这样的生成
树是存在的,构造方法如下:
在G中任取一个圈cl,从c1中去掉一条不与vo关联的边,从而得到图Gl,
在Gl中任取一个圈C2,从C2中去掉一条不与vo关联的边,从而得到图G2,
这样依此下去,直到所得的图没有圈为止,因为每次去掉的边不与v0关联,
所以每次所得图中v0的度不会变,即最后所的到的图就是我们要构造的树。
定理2.2.2设G(V,E)是简单的连通图,我们用Ⅳ表示图G(V,E)的所有支撑
树的集合,即Ⅳ=pI琨图G的支撑树),则零簪{露(v0)}=f,(其中露(vo)表示顶点
v0在丁中的度,t为图G(V,E)关于v0的分裂数)。
证明在图G的生成树集合Ⅳ中任意取一棵生成树r,显然有西(vo)≥r,所
以我们只要能构造出一棵生成树,其中%的度等于吃(%).而这样的生成树是存
在的,构造方法如下:
设q(K,互)i=l,2,…t是图G关于vo分裂后的,个连通分支,首先分别求这r个
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